数学试题
2024．1
准考证号__________姓名__________
（在此卷上答题无效）
本试卷共4页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
2．作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改
液．
4．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知 zi = z + 1（ i 为虚数单位），则|z |= （ ）
1 2
A． B． C．1 D． 2
2 2
x
2．设集合 M= x -2 x 2 ， N= y y =2 + 1 ，则 MNU = （ ）
A．[- 2, + ) B． (1,2] C．[1,2] D． (1,+ )
3．已知直线 l 与曲线 y= x3 - x 在原点处相切，则 l 的倾斜角为（ ）
p p 3p 5p
A． B． C． D．
6 4 4 6
r r r r r
4．已知 ar ， b 为单位向量，若|ar+ b | = | a r - b | ，则 ar + b 与 ar - b 的夹角为（ ）
p p 2p 3p
A． B． C． D．
3 2 3 4
5．已知 f() x 为定义在 R 上的奇函数，当 x< 0 时， f( x )= x2 - 2 x + 1 ，则 f(2)+ f (0) = （ ）
A．2 B．1 C． -8 D． -9
1
6．已知 a= x + ， b =ex + e- x ， c=sin x + 3 cos x ，则下列结论错误的为（ ）
x
A． $x [ - 1,1]， a>c B． $x [ - 1,1]， b>c
C． $x [ - 1,1]， a< c D． $x [ - 1,1]， b< c
7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数
分成许多类，如图所示的1，5，12，22 被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个
数为（ ）
1 5 12 22
A．51 B．70 C．92 D．117
8．已知函数 f() x 的定义域为 R ， x ， y R ， f( x+ 1) f ( y + 1) = f ( x + y ) - f ( x - y ) ，若 f (0) 0 ，
则 f (2024) = （ ）
A． -2 B． -4 C．2 D．4
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分．
p
9．已知函数 f( x )= 2sin 2 x - ，则（ ）
3
p
A． f() x 的最小正周期为
2
2p
B． f() x 的图象关于点 ,0 成中心对称
3
p
C． f() x 在区间 0, 上单调递增
3
1
D．若 f() x 的图象关于直线 x= x 对称，则 sin 2x =
0 0 2
10．已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均
数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A．甲组数据的第 70 百分位数为 23 B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为 24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同
x2 y 2
11．设椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F ， F ，过 F 的直线与 C 交于A，B 两点，若
a2 b 2 1 2 1
FF1 2 = 2 ，且ABF2 的周长为8，则（ ）
1
A． a = 2 B． C 的离心率为
4
C．|AB |可以为p D． BAF2 可以为直角
12．如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，ABF 和DCE 均是等边三角形，且
AB = 2 3 ， EF= x( x >0) ，则（ ）
第 12 题图
A． EF // 平面 ABCD
B．二面角 A-- EF B 随着 x 的减小而减小
27
C．当 BC = 2 时，五面体 ABCDEF 的体积V() x 最大值为
2
3 3
D．当 BC = 时，存在 x 使得半径为 的球能内含于五面体 ABCDEF
2 2
三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分．
p 3 p
13．若 sina + = - ，则 cosa - = _________．
4 5 4
14．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一
种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．
15．已知平面a 的一个法向量为 nr = (1,0,1) ，且点 A(1,2,3) 在a 内，则点 B(1,1,1) 到a 的距离为
_________．
16．设ABC 是面积为1 的等腰直角三角形， D 是斜边 AB 的中点，点 P 在ABC 所在的平面内，记
PCD 与PAB 的面积分别为 S1 ， S2 ，且 SS1- 2 =1．当|PB |= 10 ，且|PA |>| PB |时，|PA |=
_________；记 PA- PB = a ，则实数 a 的取值范围为_________．（注：第一空2 分，第二空3 分）
四、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2 cos B+ ab cos A = 2 c ．
（1）求 a ；
2p
（2）若 A = ，且ABC 的周长为 2+ 5 ，求ABC 的面积．
3
18．（12 分）
如图，在四棱锥 E- ABCD 中， AD// BC ， 2AD= BC = 2 ， AB = 2 ， AB^ AD ， EA ^ 平面
ABCD ，过点 B 作平面a ^ BD ．
第 18 题图
（1）证明：平面a // 平面 EAC ；
（2）已知点F 为棱 EC 的中点，若 EA = 2 ，求直线 AD 与平面 FBD 所成角的正弦值．
19．（12 分）
*
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2=2 a 1 = 4 ，当 nN ，且 n 2 时， SSSn+1=3 n - 2 n - 1 ．
（1）证明：an 为等比数列；
a 1
（ ）设 n ，记数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的最小
2 bn = bn n Tn Tm +m-2 >1 m
an--1 a n+1 1 7 2
值．
20．（12 分）
已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4 名登山爱好者a，b，c，d 将依次通过摸出小球的颜色来
决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2 个，小球除颜色不同之外，其
余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1 个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个
放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1 个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1 个，如此重
复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至
乙队．
（1）求a，b，c 三人均被分至同一队的概率；
（2）记甲，乙两队的最终人数分别为 n1 ， n2 ，设随机变量 X= n1 - n 2 ，求 EX() ．
21．（12 分）
x -1
已知函数 f( x )= a ln x - 有两个极值点 x ， x ．
x +1 1 2
（1）求实数 a 的取值范围；
f x - f x a- 2 a2
（2）证明： 1 2 >．
x1-- x 2 a 1
22．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(1,0) ，点 A 为动点，以线段 AP 为直径的圆与 y 轴相切，记 A 的轨迹为
G ，直线 AP 交 G 于另一点 B ．
（1）求 G 的方程；
（2）OAB 的外接圆交 G 于点 C （不与O，A，B 重合），依次连接O，A，C，B 构成凸四边形 OACB ，
记其面积为 S ．
（i）证明：ABC 的重心在定直线上；
（ii）求 S 的取值范围．