高三数学
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2
z
1. 已知 3 i ，则 z （ ）
3 1 3 1 3 1 3 1
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
x x
2. 已知集合 A x 0 ， B y y e 1 ，则 AB （ ）
x 1
A. (,1] B. (,1)
C. (,1) [0,1] D. (,1][0,1)
3. 第 19 届亚洲运动会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学
利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有 30 名学生喜欢看排球比赛，40 名同学喜欢看篮球比赛，
50 名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛
的概率为（ ）
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
4. 已知平面向量 a 、 b 满足 b 2 a 2 ，若 a a b ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
5 2
A. B. C. D.
6 6 3 3
5. 已知抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点 Q6,3 ，则PQF 周长的最小值为（ ）．
A. 13 B. 12 C. 10 D. 8
6. 已知 、 是两个平面，直线 l ， l ，若以 l ； l// ； 中两个为条件，另
一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. ； ；
7. 已知函数 f x sin x ( 0) 的图象与 g x 的图象关于 x 轴对称，若将 f x 的图象向左至
5
第1页/共5页
少平移 个单位长度后可得到 g x 的图象，则（ ）
2
A. g x 的图象关于原点对称
B. g x g x
2
C. g x 在 0, 上单调递增
5
2
D. g x 的图象关于点 ,0 对称
5
8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方
2
形，如此继续.设初始正方形的边长为 ，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列
2
2 * 1
bn ，若an 的前 n 项和为 Sn n (20 )n 0,n N ，令 cn max an , 2 ，其中
bn
max{x, y}表示 x，y 中的较大值.若 cn c3 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
2 1 2
A. [4,3] B. [3,2] C. , D. 3,
3 2 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
1
9. 下列代数式的值为 的是（ ）
4
tan15
A. cos2 75 sin2 75 B.
1 tan2 15
C. cos36 cos72 D. 2cos 20 cos 40 cos80
10. 已知 a,b(0,1) ，且 a b 1，则（ ）
A. a2 b2 1 B. ln a ln b 2ln 2
C. 2a 2b 2 2 D. a b 2
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3 3 3
11. 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x ，且 f x 为奇函数，当 x ,0 时，
2 4 4
8
f x x2 ax 2 ，则（ ）
3
A. f x 是周期为 3 的周期函数 B. f 1 1
2024
3 9 8 2 22
C. 当 x , 时， f x x x 2 D. f i 2
2 4 3 3 i1
12. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD 2AB 2AA1 4 ，E 是棱 B1C1 的中点，过点 B，E， D1 的平
面 交棱 AD 于点 F，P 为线段 D1F 上一动点（不含端点），则（ ）
A. 三棱锥 P ABE 的体积为定值
B. 存在 点 P，使得 DP
C. 直线 PE 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的最大值为 2
D. 三棱锥 P BB1E 外接球的 表面积的取值范围是 (12 ,44 )
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2
13. 已知 2a 32,log 2log x a ，则 log x log 5 _______．
a 4 5 5 x
14. 已知函数 f (x) (x e)ln x ，若直线 y (1 e)x b 与曲线 y f (x) 相切，则 b ________________.
15. 月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光
源点 A0,2 射出的两条光线与 e O : x2 y2 1分别相切于点 M 、 N ，称两射线 AM 、 AN 上切点上
方部分的射线与优弧 MN 上方所夹的平面区域(含边界)为圆 O 的“背面”.若以点 Ba,2 为圆心， r 为半径的
圆处于 O 的“背面”，则 r 的最大值为__________.
x2 y2
16. 已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左右焦点分别为 F , F ，点 P 在 C 的左支上， PF 3a ，
a2 b2 1 2 2
PF1 PF2 2b ，延长 PO 交 C 的右支于点 Q ，点 M 为双曲线上任意一点（异于 P,Q 两点），则直线
MP 与 MQ 的斜率之积 kMP kMQ __________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列an 中， a4 7 ， a3 2a8 35 ，数列bn 的前 n 项和为 Sn ，且 3bn 2Sn 1.
（1）求数列an 和bn 的通项公式；
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an
（2）若 cn ，求数列cn 的前 n 项和Tn .
bn
18. 已知 ABC 中，角 A, B,C 所对的 边分别为 a,b,c,2acosC 2b c .
（1）求 A ；
（2）设 M 是 BC 边上的点，且满足 CM 2BM ,a 9, MAB MBA ，求ACM 内切圆的半径.
19. 2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人．2019 年 7 月份以来，共完成 1931 个
志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务
的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率
分布直方图．
（1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 x 和样本方差 s2 （同一组中的数据用该组区间的
中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 X 服从正态分布 N , 2 ，其中 近似为样本
平均数 x ， 2 近似为样本方差 s2 ．一般正态分布的 概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
2 X a
X ~N , ，令Y ，则Y ~N 0,1 ，且 P X a PY ．
（）利用直方图得到的正态分布，求 P X 10 ；
（）从该地随机抽取 20 名志愿者，记 Z 表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小时的人数，求
PZ 1 （结果精确到 0.001）以及 Z 的数学期望．
参考数据： 1.64 1.28 ， 0.773420 0.0059 ．若Y ~N 0,1 ，则 PY 0.78 0.7734 ．
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8
20. 如图，在三棱柱 ABC - A B C 中，侧面 ACC A 的面积为 4，且四棱锥 C ABB A 的体积为 .
1 1 1 1 1 1 1 1 3
（1）求点 B1 到平面 ACC1 A1 的距离;
（2）若平面 ACC1 A1 平面 ABB1 A1 ，侧面 ABB1 A1 是正方形， D 为 BC1 的中点， AC1 A1C1 ，求平面
ADB1 与平面 A1B1C1 所成锐二面角的余弦值.
x2 y2 3
21. 设 F1 ， F2 分别是椭圆 D : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点， F1F2 2 3 ，椭圆的离心率为 .
a b 2
（1）求椭圆 D 的方程；
（2）作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P ， Q ，其中点 P 的坐标为 2,0 ，若点 N(0,t) 是线段 PQ 垂
直平分线上一点，且满足 NP NQ 4 ，求实数 t 的值.
1
22. 已知函数 f (x) log x (a 0 且 a 1) .
a x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
1
（2）若 ln a 1 ，求证： x 0 ， f (x) ln a .
2
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20232024 学年第一学期优生联考
高三数学
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2
z
1. 已知 3 i ，则 z （ ）
3 1 3 1 3 1 3 1
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.
2 23 i 3 i 3 1
【详解】因为 z ，所以 z i .
3 i 3 i3 i 5 5 5
故选：B
x x
2. 已知集合 A x 0 ， B y y e 1 ，则 AB （ ）
x 1
A. (,1] B. (,1)
C. (,1) [0,1] D. (,1][0,1)
【答案】C
【解析】
【分析】首先解分式不等式求出集合 A ，再根据指数函数的性质求出集合 B ，最后根据补集的定义计算可
得.
x x x 1 0
【详解】由 0 ，等价于 ，解得 x 0 或 x 1，
x 1 x 1 0
x
所以 A x 0 ,1 0, ，
x 1
又 B y y ex 1 1, ，
所以 AB ,1 0,1 .
故选：C
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3. 第 19 届亚洲运动会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学
利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有 30 名学生喜欢看排球比赛，40 名同学喜欢看篮球比赛，
50 名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛
的概率为（ ）
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
【答案】B
【解析】
【分析】先求出喜欢观看两种比赛的人数，再用古典概率求解即可.
【详解】设有 x 人两种比赛都喜欢，则有 30 x 人只喜欢看排球比赛， 40 x 人只喜欢看篮球比赛，
所以有 30 x 40 x x 50 ，解得 x = 20 人，
20 2
所以从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为 .
30 3
故选：B
4. 已知平面向量 a 、 b 满足 b 2 a 2 ，若 a a b ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
5 2
A. B. C. D.
6 6 3 3
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得 a a b 0 ，根据数量积的运算律求出 a b ，再由夹角公式计算可得.
2
【详解】因为 b 2 a 2 ，且 a a b ，所以 a a b 0 ，即 a a b 0 ，
2
所以 a b a 1，
a b 1 1
设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos ，因为 0, ，
a b 21 2
2 2
所以 ，即 a 与 b 的夹角为 .
3 3
故选：D
5. 已知抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点 Q6,3 ，则PQF 周长的最小值为（ ）．
A. 13 B. 12 C. 10 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
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【详解】 y2 2 4x ，故 F 2,0 ,
记抛物线 C 的准线为l ，则l ： x 2 ，
记点 P 到l 的距离为d ，点 Q6,3 到l 的距离为 d ，
则 PQ PF QF PQ d 6 22 3 02 d 5 8 5 13 .
故选：A.
6. 已知 、 是两个平面，直线 l ， l ，若以 l ； l// ； 中两个为条件，另
一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. ； ；
【答案】A
【解析】
【分析】
对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.
【详解】（1）证明： 为真命题
因为 l ， l// ，设l 平行于 内一条直线 l ，所以 l ，
根据面面垂直的判定定理可知： ，所以 为真命题；
（2）证明： 为真命题
因为 l ， ，所以 l 或 l // ，
又因为 l ，所以 l // ，所以 为真命题；
（3）证明： 为假命题
作出正方体如下图所示：
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记直线 AD 为l ，平面 A1B1C1D1 为 ，平面 BB1C1C 为 ，
所以 ， l// ，但 l// ，所以 为假命题；
故选：A.
【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一
般.说明位置关系不成立也可以举反例.
7. 已知函数 f x sin x ( 0) 的图象与 g x 的图象关于 x 轴对称，若将 f x 的图象向左至
5
少平移 个单位长度后可得到 g x 的图象，则（ ）
2
A. g x 的图象关于原点对称
B. g x g x
2
C. g x 在 0, 上单调递增
5
2
D. g x 的图象关于点 ,0 对称
5
【答案】B
【解析】
【分析】先设 g x f x m sin x m ， m 0 ，从而根据图象关于 x 轴对称，得到方程，
5
求出 2 ，A 选项，根据 g 0 0 ，得到 A 错误；B 选项，化简得到 B 正确；C 选项，利用整体法判断
2
函数的单调性；D 选项，由 g 0 得到 D 错误.
5
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【详解】由题意，可设 g x f x m sin x m sin x m ， m 0 ，
5 5
因为 f x 与 g x 的图象关于 x 轴对称，
6
所以 sin x m sin x sin x ，
5 5 5
6
则m 2k,k Z ，解得m 2k,k Z ，
5 5
由于 0 ， m 0 ，故 m 的最小值为 ，
因为 f x 的图象向左至少平移 个单位长度后可得到 g x 的图象，
2
所以 ，解得 2 ，
2
4
则 g x sin 2 x sin 2x .
2 5 5
4
对于 A，因为 g x 的定义域为 R ，而 g 0 sin 0 ，所以 g x 不是奇函数，
5
图象不关于原点对称， A 错误；
4 4
对于 B， g x sin 2 x sin 2x
2 2 5 5
4
sin 2x g x ，B 正确；
5
4 4 2
对于 C，由 x 0, ，得 2x , ，
5 5 5 5
4 2
又 y sinz 在 z , 上不单调，C 错误；
5 5
2 4 4 8
对于 D， g sin sin 0 ，
5 5 5 5
2
故 ,0 不是 g x 图象的对称中心，D 错误.
5
故选：B.
8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方
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