数 学
2024.1
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 Axx={|13} ， B x= x{ | 4} 2 ，则 AB=
（A） ( 1, + ) （B） ( 1,2]
（C） (,2](1,)+ （D） ( , 2] ( 1 ,3 )
i2
（2）在复平面内，复数 对应的点位于
i
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）设 ab, R ，且 ab ，则
11
（A） （B） tantanab
ab
（C） 32ab （D） aabb||||
（4）已知双曲线 C 的一个焦点是 F1 (0 ,2) ，渐近线为 y = 3x ，则 的方程是
2 2
y x
（A） x2 =1 （B） =y2 1
3 3
x2 y2
（C） y2 =1 （D） =x2 1
3 3
（5）已知点 O(0,0) ，点 P 满足| |PO 1 = ．若点 At( ,4) ，其中 t R ，则||PA 的最小值为
（A） 5 （B） 4
（C） 3 （D） 2
（6）在ABC 中， B =60 , b = 7, a c = 2 ，则 的面积为
33 33
（A） （B）
2 4
3 3
（C） （D）
2 4
1+ x
（7）已知函数 fx( )= ln ，则
1 x
（A） fx()在 ( 1, 1) 上是减函数，且曲线 y= f() x 存在对称轴
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（B） fx()在 ( 1, 1) 上是减函数，且曲线 y f= x ()存在对称中心
（C） 在 上是增函数，且曲线 存在对称轴
（D） 在 上是增函数，且曲线 存在对称中心
（8）设 ab, 是非零向量，则“| |a | | b ”是“| |ab | | b 2 ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）设{}an 是首项为正数，公比为 q 的无穷等比数列，其前 n 项和为 Sn ．若存在无穷
多个正整数 k ，使 Sk 0 ，则 的取值范围是
（A） ( ,0) （B） ( , 1]
（C）[ 1,0) （D） (0 ,1)
（10）如图，水平地面上有一正六边形地块 AB CDE F ，设计师规划在正
六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能
电池板 A111111 B C D E F ． 若 其 中 三 根 柱 子 AA111 BB,, CC 的 高 度 依 次 为
12m, 9m , 10m ，则另外三根柱子的高度之和为
（A） 47 m （B） 48m
（C） 49m （D） 50m
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在 (2)x 4 的展开式中， x2 的系数为_______．（用数字作答）
（12）设 0 ，函数 fxx()sin= ．若曲线 y= f() x 关于直线 x = 对称，则 的一个取值
6
为_______．
（13）已知函数 fxxx()2loglog(4)= 22，则 fx()的定义域是_______； 的最小值是
_______．
（14）已知抛物线 C:8 y2 = x ．
则 C 的准线方程为_______；
设 的顶点为 O ，焦点为 F ．点 P 在 上，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称．若 QF 平分 PFO ，则
点 的横坐标为_______．
x3 , x a ,
（ ）设 a R ，函数 fx()= 给出下列四个结论：
15 22
+x a, x a .
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fx()在区间 (0, )+ 上单调递减；
当 a 0 时， 存在最大值；
当 a 0 时，直线 y= ax 与曲线 y f= x ()恰有 3 个交点；
1
存在正数 a 及点 M x( f, x( ) ) ()xa 和 N x( f, (x ) ) ()xa ，使||MN ．
111 222 100
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 fxaxxx()2sincos2cos=2 的一个零点为 ．
6
（）求 a 的值及 fx()的最小正周期；
（）若 m f x M () 对 x [0 , ] 恒成立，求 m 的最大值和 M 的最小值．
2
（17）（本小题 13 分）
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹．为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用
情况，从该地随机抽取了 200 名中学生和 80 名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响．
（）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1 人，用频率估计概率，试估计这 2 人都最
喜爱使用跑步软件一的概率；
（）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 8 人，再从这 人中随机抽取 3 人．记 X 为这
人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
2
（）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 xxxx1234,,, ，其方差为 s1 ；
2
样本中的大学生最喜爱 使用这四款跑步软件的频率依次为 yyyy1234,,, ， 其 方 差为 s2 ；
2 222
xxxxyyyy12341234,,,,,,, 的方差为 s3 ．写出 sss123,,的大小关系．（结论不要求证明）
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PD 平面
，平面 PAB 平面 PAD ， E 为 PA 中点， PD== AD 2 ．
（）求证： AB 平面 PAD ；
（）求直线 DE 与平面 PBC 所成角的大小；
（）求四面体 PEBC 的体积．
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（19）（本小题 15 分）
xy22 3
已知椭圆 E： + =1 (ab 0) 的离心率为 ，且经过点 C(2,1) ．
ab22 2
（）求 E 的方程；
（）过点 N(0 ,1) 的直线交 于点 AB, （点 与点 C 不重合）．设 AB 的中点为 M ，连接 CM 并延长交
于点 D ．若 恰为 CD 的中点，求直线 的方程．
（20）（本小题 15 分）
eax
已知函数 fx()= ，其中 a 0 ．
x
（）当 a = 1时，求曲线 y = fx()在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（）求 fx()的单调区间；
11
（）当 xx12 且 xx120 时，判断 fx()12 fx()与 的大小，并说明理由．
x12x
（21）（本小题 15 分）
给定正整数 N 3 ，已知项数为 m 且无重复项的数对序列 Axyxyxy: (,),(,),,(,)1122 mm满足如下三个性
质：
xyNii,{1,2,,} ，且 xyii (1,2,,)im= ；
xyimii+1 == (1,2,,1) ；
( ,pq ) 与 ( ,qp ) 不同时在数对序列 A 中．
（）当 N = 3 ， m = 3 时，写出所有满足 x1 = 1 的数对序列 ；
（）当 N = 6 时，证明： m 13 ；
（）当 N 为奇数时，记 的最大值为TN()，求 ．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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