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数学试题
本试卷共4 页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
2
1．已知集合 M x 1 x 5， N x x x 2 ，则 M N
A．x 1 x 2 B．x 1 x 5 C．x 1 x 2 D．x 1 x 5
1 i
2．若 z ，则其共轭复数 z
2 i
1 1 1 1 3 1 3 1
A． i B． i C． i D． i
3 3 3 3 5 5 5 5
1
3．已知曲线 y ln x 与曲线 y a x 在交点 1,0 处有相同的切线，则 a
x
1 1
A．1 B． C． D． 1
2 2
2 2
4．已知直线l 经过点 2,4 ，则“直线l 的斜率为 1”是“直线l 与圆C： x 1 y 3 2 相切”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．平行四边形 ABCD 中， AB 3 ， AD 4 ， BAD ，若 BE EC ， CF 2FD ，则 AE AF
3
A．4 B．6 C．18 D．22
4
6．已知 sin ，则 sin 2
4 5
7 12 7 12
A． B． C． D．
25 25 25 25
7．已知抛物线C： y2 8x 的焦点为F，坐标原点为O，过点F 的直线与C 交于A，B 两点，且点O 到直线AB
的距离为 2 ，则OAB 的面积为
A． 4 2 B．8 2 C．16 2 D． 32 2
n n
．数列 的前 项和为 ，若 ， ，且 ，则
8 an n Sn a1 1 a2 2 an2 2 cos an sin S2024
2 2
A． 32024 1011 B． 32024 1011 C． 31012 1011 D． 31012 1011
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分。
9．已知实数a，b 满足 a b ，则
1 1
A． a2 b2 B． a3 b3 C． D． a sin a b sinb
b a
10．已知函数 f x 的定义域为R，且 f x y f x f y 1， f 1 0 ，则
A． f 0 1 B． f x 有最小值C． f 2024 2023 D． f x 1是奇函数
11．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组
各有 10 位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7 分，则该组为“优
秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是
A．甲组中位数为3，极差为4 B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为3，方差为2 D．丁组平均数为3，第 65 百分位数为6
12．如图，ABC 中， AB BC 4 ， AB BC ，M是AB 中点，N是AC 边上靠近A 的四等分点，将AMN
沿着MN 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P-BCNM，则
A．记平面 PBC 与平面 PMN 的交线为l，则l平面 BCNM
B．记直线PM和 BEC 与平面 PNC 所成的角分别为 ， ，则
C．存在某个点P，满足平面 PBC 平面 PNM
D．四棱锥P-BCNM 外接球表面积的最小值为 20
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。
13．在正四棱锥P-ABCD 中， PA AB 2 ，则该棱锥的体积为 ．
14．已知函数 f x sinx （ 0 ）的最小正周期不小于 ，且 f x f 恒成立，则 的值
4 4
为．
15．2023 年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种
吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同
名的吉祥物的分配方案共有 种．（用数字作答）
x2 y2
16．已知双曲线C： 1（ a 0 ， b 0 ）的左、右焦点分别为 F ， F ，过点 F 的直线与C 的右支
a2 b2 1 2 2
1
交于A，B 两点，且 AF AB ， F AB 的内切圆半径 r F B ，则C 的离心率为 ．
1 1 2 2
四、解答题：本题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
记ABC 的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a 3 ， b2 c2 3c 9 ．
（1）求B，
（2）ABC 的平分线交边AC 于点D，且 BD 2 ，求b．
18．（12 分）
如图，四棱锥P-ABCD中， AD BC ， BC CD ， BC 2CD 2AD 2 2 ，平面 ABCD 平面 PAC．
（1）证明： PC AB ；
5
（2）若 PA PC AC ，M是PA 的中点，求平面 MBC 与平面 PAC 夹角的余弦值．
2
19．（12 分）
将数列an 中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15
……
记 表 中 的 第 一 列 数 a1 ， a2 ， a4 ， a8 ，…构成的数列为 bn ， Sn 为 数 列 bn 的 前n 项和，且满足
n
Sn 2 1．
（1）求数列bn 的通项公式；
（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2 的等差数列，求上表中第k（ k 3 ）行
所有项的和Tk ．
20．（12 分）
以“智联世界，生成未来”主题的 2023 世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来
了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某
机构从所在地区随机调查 100 人，所得结果统计如下：
年龄（岁） 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70
频数 24 16 15 25 20
持支持态度 20 13 12 15 10
（1）完成下列22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为所持态度与年龄有关；
年龄在 50 岁以上（含 50 岁） 年龄在 50 岁以下 总计
持支持态度
不持支持态度
总计
（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在 50 岁以上（含 50 岁）的人中随机抽取3 人，记为3 人中持支
持态度的人数，求的分布列以及数学期望．
nad bc2
附： K 2
a bc d a cb d
PK 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21．（12 分）
1
在平面直角坐标系 xOy 中，动点M 到点 F 1,0 的距离与到直线 x 4 的距离之比为 ．
2
（1）求动点M 轨迹W 的方程；
（2）过点F 的两条直线分别交W于A，B 两点和C，D 两点，线段AB，CD 的中点分别为P，Q．设直线
1 1
AB，CD 的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 1，试判断直线 PQ 是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不
k1 k2
是，请说明理由．
22．（12 分）
3 1
已知函数 f x axln x x 2 ．
2 2x
（1）当 a 1时，求 f x 的单调区间；
（2）若 x1时， f x 0 ，求a 的取值范围；
* 1 1 1 1 1
（3）对于任意 n N ，证明： ln 2 ．
4n 2 n 1 n 2 2n 4n
2024年1 月济南市高三期末学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C C A B D
二、多项选择题：本题共4 小题。每小题5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD AC BCD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分、共 20分．
4 2 17
13． ；14．1；15．6；16． ．
3 3
四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）由题意得， a2 c2 b2 ac ，
a2 c2 b2 1
所以 cos B ，
2ac 2
2
又 0 B ，所以 B ．
3
（2）法一：因为 SABC SABD SBCD
1 1
所以 acsin ABC BD sin ABD a c ，则 a 3 ，得 c 6
2 2
2 2 2 1
在ABC 中，由余弦定理得 b a c 2accos B 9 36 2 3 6 63，
2
则 b 3 7
18．【解折】
（1）取BC 中点N，连接AN，则 CN AD CD 2 ，
又 ADCN ， BC CD ，
所以四边形 ANCD 为正方形，
则 ANB ANC 90 ， NAC 45 ，
又在ANB 中， AN BN 2 ，
则 BAN ，所以， BAC ，即 AB AC ．
4 2
又平面 ABCD 平面 PAC，平面 ABCD 平面 PAC AC ， AB 平面 ABCD，
所以 AB 平面 PAC，
又 PC 面 PAC，
所以 PC AB ．
（2）取AC 中点O，BC 中点N，连OP，ON，所以 ON AB ．
因为AB平面 PAC，所以ON平面 PAC，
因为 PA PC ，所以OPAC，
所以ON，OC，OP 两两垂直，
以O 为原点，ON，OC，OP 所在的直线分别为x 抽、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，
则平面 PAC 的一个法向量是 m 1,0,0 ，
1
又 C 0,1,0 ， B2,1,0 ， M 0, ,1 ，
2
3
所以， CB 2,2,0 ， CM 0, ,1 ，
2
设 n x, y, z 是平面 MBC 的法向量，
2x 2y 0
n CB 0
则 3
n CM 0 y z 0
2
令 x 2 ，可得 n 2,2,3 ，
2 2 17
所以 cos m,n ，
17 17
2 17
所以，平面 MBC 与平面 PAC 夹角的余弦值为
17
19．【解析】
（ ）当 时， n n1 n1 ．
1 n 2 bn Sn Sn1 2 1 2 1 2
n 1时， S1 b1 a1 1，也适合上式，
n1
因此 bn 2 ．
（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（ k 3 ）行有 2k 1 项，
k 1 k 1 k 1 k 1 k
Tk 2 2 2 2 4 2 2 2
k 1 k 1 k k 1
1 2 2 2 2 2
2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 1 2 （或者 ）
2 2
2 4k 1 2k 1 22k 1 2k 1 ．
20．【解析】
（1）
年龄在 50 岁以上（含 50 岁） 年龄在 50 岁以下 总计
持支持态度 25 45 70
不持支持态度 20 10 30
总计 45 55 100
100 2510 20 452
K 2
70 30 55 45
8.129
因为 8.1296.635，
所以有 99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关．
25 5
（2）依题意可知 50 岁以上（含 50 岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为 ．
45 9
5
由题意可得 X ~ B3, ．
9
X 的所有可能取值为0，1，2，3．
3 2
4 64 5 4 240 80
又 ， 1 ，
P X 0 P X 1 C3
9 729 9 9 729 243
2 3
5 4 300 100 5 125
2 ， 3
P X 2 C3 P X 3 C3
9 9 729 243 9 729
所以的分布列如下：
X 0 1 2 3
64 80 100 125
P
729 243 243 729
5 5
所以X 的期望是 E X 3 ．
9 3
21．【解析】
2
x 1 y2 1
（1）设点M 的坐标为 x, y ，由题意可知， ，
4 x 2
x2 y2
化简整理得，W 的方程为 1．
4 3
x2 y2
（2）法一：由题意知，直线AB 的方程为 1，
4 3
x2 y2
与W 的方程 1联立可得，
4 3
2 2 2 2 ，
4k1 3 x 8k1 x 4k1 12 0
8k 2
设 ， ，由韦达定理得， 1 ，
A x1, y1 B x2 , y2 x1 x2 2
4k1 3
6k
则 1 ，
y1 y2 k1 x1 x2 2k1 2
4k1 3
4k 2 3k
所以，点 的坐标为 1 1 ．
P 2 , 2
4k1 3 4k1 3
4k 2 3k
同理可得， 的坐标为 2 2 ．
Q 2 , 2
4k2 3 4k2 3
4k1k2 3
所以，直线PQ 的斜率为 kPQ ，
4k1 k2
4k k 3 4k 2 3k
所以，直线 的方程为 1 2 1 1 ，
PQ y x 2 2
4k1 k1 4k1 3 4k1 3
4k k 3 k k
即 y 1 2 x 1 2 ，
4k1 k2 k1 k2
1 1
又 1，则 k1 k2 k1k2 ，
k1 k2
4k k 3
所以直线PQ 的方程即为 y 1 2 x 1，
4k1k2
所以，直线PQ 过定点 0,1 ．
22．【解析】
（1） f x 的定义域为 0, ．
3 1 1 1
当 a 1时， f x xln x x 2 ，则 f ' x ln x ．
2 2x 2x2 2
1 1 x2 1
令 g x ln x ，则 g ' x ．
2x2 2 x3
故当 x 0,1 时， g x 单调递减；当 x 1, 时， g x 单调递增．
于是 g x g 1 0 ，即 f ' x 0 ，
故 f x 的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间．
1 3
（2）由题意知 f ' x aln x a ．
2x2 2
1 3 a 1 ax2 1
令 h x aln x a ，则 h' x ．
2x2 2 x x3 x3
3 1
由（1）可知若 a 1，则当 x1时， f x xln x x 2 f 1 0 ．
2 2x
若 a 1，则当时，
3 1 3 1
f x axln x x 2 xln x x 2 0 ，符合题意．
2 2x 2 2x