数学试题
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答
题无效．
第卷:选择题（60分）
一、单选题，本题共8 小题，每题5 分，共 40 分，将答案填涂在答题卡上相应位置．
x 3
2 B x 0
A x x 4 x 1 A B
1. 已知全集U R ，集合 ， ，则 U （ ）
A. x 2 x 1 B. x 2 x 1 C. x 2 x 1 D. x 2 x 1
1 2i 3
2. 已知 a 为 实数，若 （i 为虚数单位），则 a （ ）
a i 2
1 1
A. 1 B. 2 C. D.
3 2
3. 已知锐角 满足 2cos 2 1 sin 2 ，则 tan （ ）
1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
a x y
已知向量 满足 a b 1,a b 0 ，且 ，则 x y 等于（ ）
4. a,b, x, y
b 2x y
A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 7
5. 已知正三棱柱的高与底面边长均为 2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为
（ ）
1 7 3 21
A. B. C. D.
7 7 7 7
6. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即
前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 角的方
向沿直线前往B 处救援，则 sin 的值为()
21 2 3 5 7
A. B. C. D.
7 2 2 14
7. 设 a 1.12 ， b sina ， c e0.2 ，则（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b
C 2 2 2
8. 抛物线 1 ： x 2 py p 0 与双曲线 C2 ： x 3y 有一个公共焦点 F ，过 C2 上一点 P3 5,4
向C1 作两条切线，切点分别为 A 、 B ，则 AF BF （ ）
A. 49 B. 68 C. 32 D. 52
二、多选题：本小题共 4 小题，全选对得 5 分，部分选对得 2 分，多选或错选均不得分，共
计 20 分，将答案填涂在答题卡的相应位置．
9. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn n N ，且 Sn 2an a (其中 a 为常数)，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列an 一定是等比数列 B. 数列an 可能是等差数列
C. 数列S 可能是等比数列 D. 数列S 可能是等差数列
n n
10. 以下四个命题表述正确的 是（ ）
A. 直线 3 m x 4y 3 3m 0 x R 恒过定点 2,3 ；
B. 圆 x2 y2 4 上有且仅有 3 个点到直线 l：x y 2 0 的距离都等于 1
2 2 2 2
C. 曲线 C1：x y 2x 0 与曲线 C2：x y 4x 8y m 0 恰有三条公切线，则 m 4
x2 y2
D. 若双曲线 1(a 0，b 0) 的一条渐近线被圆 x2 y2 6x 0 截得的弦长为 2 5 ，则双曲线的
a2 b2
3 5
离心率为 ．
5
11. 如图，棱长为1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为线段 A1B 上的动点（不含端点），则下列结论正
确的是（ ）
A. 直线 D P 与 AC 所成的角可能是
1 6
B. 平面 D1 A1P 平面 A1 AP
C. 三棱锥 D1 CDP 的体积为定值
D. 平面 APD1 截正方体所得的截面可能是等腰梯形
12. 已知函数 f x ex , g x lnx ，其中 e 为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y f x eg x 的极值点为 1
B. x 0,, f x g x 2
C. 若 P,Q 分别是曲线 y f x 和 y g x 上的动点.则 PQ 的最小值为 2
1
D. 若 f ax g x 1 a x 对任意的 x 0, 恒成立，则 a 的最小值为
e
第卷:非选择题（90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 若直线 3x4y80 被圆(xa)2y24 截得的弦长为 2 3 ，则 a______．
14. 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 4800m3 ，深度为 3m .如果池底每1m2 的造价为 150
元，池壁每1m2 的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______ m .
2 2
15. 已知点 M 3,1 在圆 C： x 1 y 1 r 2 （ r 0 ）内，过点 M 的直线被圆 C 截得的弦长最小
值为 8，则 r ______．
16. 已知抛物线 C : y2 2 px ( p 0) 的焦点到准线的距离为 2 ， O 为坐标原点，点 P 在抛物线上，平面上
uuur uuur
一点 M 满足 PM 9MF ，则直线 OM 斜率的最大值为_______.
四、解答题（本大题满分 70 分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）
2
n n
17. 已知数列an 的前 n 项和 S ,n N ．
n 2
（1）求数列an 的通项公式；
n
an
（2）设 bn 2 1 an ，求数列bn 的前 2n 项和．
2 1
18. 已知函数 f (x) sin xsin x cos x .
6 12 2
（1）求函数 f（x）的单调递减区间；
B 3
（2）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f ,b 3 ，求
2 2
acosBbcosC 的取值范围.
19. 已知圆 C：x2+y24y+10，点 M（1，1），从圆 C 外一点 P 向该圆引一条切线，记切点 为 T．
（1）若过点 M 的直线 l 与圆交于 A，B 两点且|AB|2 2 ，求直线 l 的方程；
（2）若满足|PT||PM|，求使|PT|取得最小值时点 P 的坐标．
20. 如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 是 等 腰 梯 形 ， AD / /BC ， BC 2AB 2AD 2 ， PC 3 ，
PC 底面ABCD ， M 为棱 AP 上的一点．
（1）证明： AB CM ；
17 PM
（2）若二面角 A DC M 的余弦值为 ，求 的值．
17 PA
21. 已知曲线 C 上任意一点到点 F(2,0) 的距离比它到 y 轴的距离大 2，过点 F(2,0) 的直线 l 与曲线 C 交
于 A，B 两点．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）若曲线 C 在 A，B 处的切线交于点 M，求MAB 面积的最小值．
22. 已知函数 f x xex kx2 ,k R .
（1）当 k 0 时，求函数 f x 在2,2 上的值域；
（2）若函数 f x 在 0, 上仅有两个零点，求实数 k 的取值范围.
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答
题无效．
第卷:选择题（60分）
一、单选题，本题共8 小题，每题5 分，共 40 分，将答案填涂在答题卡上相应位置．
x 3
2 B x 0
A x x 4 x 1 A B
1. 已知全集U R ，集合 ， ，则 U （ ）
A. x 2 x 1 B. x 2 x 1 C. x 2 x 1 D. x 2 x 1
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求出集合 ， B ，从而求出 A ，由此能求出 ( A) B ．
A U U
2
【详解】解： 全集U R ，集合 A {x | x 4} {x | x 2 或 x 2} ，
x 3
B {x | 0} {x | 3 x 1} ，
x 1
U A {x | 2 x 2}，
( A) B {x | 2 x 1}．
U
故选： D ．
1 2i 3
2. 已知 a 为实数，若 （i 为虚数单位），则 a （ ）
a i 2
1 1
A. 1 B. 2 C. D.
3 2
【答案】D
【解析】
【分析】
1 2i
把 分子分母同时乘以 a i ，整理为复数的一般形式，根据题中条件计算即可得出结论.
a i
1 2i (1 2i)(a i) a 2 2a 1
【详解】解： i ，
a i (a i)(a i) a2 1 a2 1
2a 1
0,
a2 1
a 2 3
,
a2 1 2
1
a .
2
故选：D
【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.
3. 已知锐角 满足 2cos 2 1 sin 2 ，则 tan （ ）
1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于 的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数
关系求得 tan 的值.
【详解】 2cos2 1 sin2 ， 2cos2 sin2 (sin cos )2 ，
即 2cos sin sin cos (sin cos )2 ，
又 为锐角， sin cos 0 ，
2cos sin sin cos ，
1
即 cos 3sin ， tan .
3
故选：A
a x y
已知向量 满足 a b 1,a b 0 ，且 ，则 x y 等于（ ）
4. a,b, x, y
b 2x y
A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程组求出 x ， y ，再分别求它们的模，相加即可.
a x y x a b
【详解】由 得： ，
b 2x y y 2a b
又 a b 1， ab 0 ，
2
2 2
x a b a b a 2ab b 1 0 1 2 ，
2
2 2
y 2a b 2a b 4a 4ab b 4 0 1 5 .
所以 x y 2 5 .
故选：B
5. 已知正三棱柱的高与底面边长均为 2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为
（ ）
1 7 3 21
A. B. C. D.
7 7 7 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据
勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径 r 是底面正三角形内切圆的半径时，
该内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.
【详解】设正三棱柱 ABC - A1B1C1 ，取三棱柱 ABC - A1B1C1 的两底面中心 O ， O 1 ，
连结 OO 1 ，取 OO 1 的中点 D ，连结 BD ，则 BD 为正三棱柱外接球的半径．
ABC 是边长为 2 的正三角形， O 是 ABC 的中心，
2 2 3
BO 3 ．
3 3
1 1
又 OD OO AA 1，
2 1 2 1
7 21
BD OB2 OD2 ．
3 3
28
正三棱柱 ABC - A B C 外接球的表面积 4 BD2 ．
1 1 1 3
根据题意可知，当球半径 r 是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即
1 3
r 3 ，
3 3
4
所以正三棱柱 ABC - A B C 内 半径最大的球表面积为 4 r 2 ，
1 1 1 3
4
1
所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为 3 = .
28 7
3
故选：A.
【点睛】方法点睛：
一般地，柱体的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处；
柱体的内切球的半径为其中截面内切圆的半径.
6. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即
前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 角的方
向沿直线前往B 处救援，则 sin 的值为()
21 2 3 5 7
A. B. C. D.
7 2 2 14
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题中所给的条件，画出对应的图形，在 ABC 中，利用余弦定理求得 BC，然后根据正弦定
理求得 sin ACB ，则 cosACB 可得，进而利用 sin sin(30 ACB) ，根据正弦函数的两角和公式
解决.
【详解】本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式．在三角形 ABC 中，由 AC10，AB20，CAB
120.由余弦定理可得 BC10 .又由正弦定理可得 sin ACB
.故 sin sin .
【点睛】该题考查的是利用正余弦定理解决海上救援的问题，在解题的过程中，注意正确分析题中的条件，
熟练掌握正余弦定理，将所涉及到的量代入对应的式子正确求解即可.
7. 设 a 1.12 ， b sina ， c e0.2 ，则（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断这三个数与 1 的大小，确定 b 最小；对 a 、 c 先开方，再利用函数 f x ex x 1，
x 0 的单调性判断他们的大小.
【详解】 a 1.12 1.10 1， b sin a 1,1， c e0.2 e0 1， b 最小.
设 f x ex x 1 x 0 ，则 f x ex 1，因为 x 0 ，所以 f x 0 ，所以 f x 在 0, 上
为增函数.
2
又 f 0 0 ，所以 f 0.1 0 ，即 e0.1 0.11 0 e0.1 1.1 e0.1 1.12 即 e0.2 1.12 ，
所以 c a .
综上可得： c a b .
故选：D
x
【点睛】（1）先把 a ， c 开方，利用函数 f x e x 1 x 0 的单调性比较是难点.
（2）也可以先把 a ， c 取自然对数： ln a 2ln1.1， ln c 0.2 ，然后利用函数
g x x ln 1 x, x 0 的单调性来比较它们的大小.
C 2 2 2
8. 抛物线 1 ： x 2 py p 0 与双曲线 C2 ： x 3y 有一个公共焦点 F ，过 C2 上一点 P3 5,4
向C1 作两条切线，切点分别为 A 、 B ，则 AF BF （ ）
A. 49 B. 68 C. 32 D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】将 P 坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数 p,利用导数几何
意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将 A,B 到焦点的距
离转化为到准线的距离，表示为 A,B 的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于 A,B 纵坐标的表达式.
2
【详解】由 P 在双曲线上，将 P 点坐标代入双曲线的方程， 3 5 3 42 3 ，
x2
双曲线的方程为 y2 1，双曲线的焦点在 y 轴上， a2 1,b2 3, c2 a2 b2 4 ,
3
2 p
c 2 ,双曲线的焦点坐标为 0,2 ,抛物线 x 2 py 的焦点坐标为 0, ,
2
p
抛物线与双曲线的焦点重合， 2 ，抛物线的准线为 y= 2 ， p 4 ，
2
1
抛物线的方程为 x2 8y ,即 y x2 ,
8
1 1 1
y x ,设 A x , y , B x , y ,切线 PA,PB 的斜率分别为 x , x ,切线方程分别为
4 1 1 2 2 4 1 4 2
1 1
y y x x x , y y x x x ,
1 4 1 1 2 4 2 2
1 2 1 2 2 2
将 P 的坐标及 y1 x1 , y2 x2 代入，并整理得 x 6 5x 32 0 , x 6 5x 32 0 ,
8 8 1 1 2 2
2
可得 x1, x2 为方程 x 6 5x 32 0 的两个实数根，由韦达定理得
x1x2 32, x1 x2 6 5 ,
1 2 1 2 1 2 1 2 2
AF BF y1 2 y2 2 x1 2 x2 2 x1x2 x1 x2 4
8 8 64 4
2
1 2 1 2 1 2 1
= x x x x 2x x 4 32 6 5 232 4 49 ,
64 1 2 4 1 2 1 2 64 4
故选:A.
【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦
达定理的灵活运用.
二、多选题：本小题共 4 小题，全选对得 5 分，部分选对得 2 分，多选或错选均不得分，共
计 20 分，将答案填涂在答题卡的相应位置．
9. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn n N ，且 Sn 2an a (其中 a 为常数)，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列an 一定是等比数列 B. 数列an 可能是等差数列
C. 数列Sn 可能是等比数列 D. 数列Sn 可能是等差数列
【答案】BD
【解析】
【分析】由 Sn 和 an 的关系求得 an1 2an ， a1 2a ，分类讨论 a 是否为 0，判断选项正误.
【详解】因为 Sn 2(an a) ，当 n 1时， S1 a1 2(a1 a) ，得 a1 2a ，
将 n 1代入，得 Sn1 2(an1 a) ， an1 Sn1 Sn 2(an1 a) 2(an a) ，