2024届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试(二模)-理数试题+答案

2024-01-15·10页·1.9 M

绵阳市高中 2021 级第二次诊断考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷

上无效。

3.考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的。

1.若 iz 1 i ,则复数 z ( )

A.1 i B.1 i C. 1 i D. 1 i

x

2.已知 A x2 3, B {xx 2},则 A B ( )

A. (,2) B. ,log2 3 C. 0,log2 3 D. log2 3,2

3.已知 a (1,0),| b |1,| a b | 3 ,则 a 与 a b 的夹角为( )

2 5

A. B. C. D.

6 3 3 6

y 0,

4.若变量x,y 满足不等式组 2x y 2 0, ,则 x y 的最小值是( )

x y 2 0,

A.1 B. 1 C. 2 D. 3

5.已知变量x,y 之间的线性回归方程为 y 2x 1,且变量x,y 之间的一组相关数据如表所示,

x 2 4 6 8

y 5 8.2 13 m

则下列说法正确的是( )

A. m 17 B.变量y与x 是负相关关系

C.该回归直线必过点 (5,11) D.x 增加1 个单位,y 一定增加2 个单位

5

1

6. x 的展开式中,x 的系数为( )

x

A. 5 B. 10 C.5 D.10

7.已知 x 0, y 0 ,则“ x y 1”是“ x2 y2 1”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.函数 y f (x 1) 关于直线 x 1对称,且 f (x) 在区间 (0,) 上单调递增,则( )

. 0.3 . 0.3

A f 0.2 f (0.5) f log3 0.5 B f (0.5) f log3 0.5 f 0.2

. 0.3 . 0.3

C f log3 0.5 f (0.5) f 0.2 D f 0.2 f log3 0.5 f (0.5)

3n 2

9.已知数列a 的前n 项和为 S ,且 S ,则下列说法正确的是( )

n n n 3n

4

A. a a B. S S C. 2a S 1 D. 0 a

n n1 n n1 n n n 9

1

10.在平面直角坐标系 xOy 中,角, 的终边与单位圆的交点分别于A,B 两点,且直线AB 的斜率为 ,

2

则 tan( ) ( )

4 3 4 3

A. B. C. D.

3 4 3 4

11.己知曲线 y x2 2mx m 1与x 轴交于不同的两点A,B,与y 轴交于点C,则过A,B,C(A,B,C

均不重合)三点的圆的半径不可能为( )

5 2 5

A. B. C.1 D.2

5 5

x2 y2

12.设 F , F 分别为椭圆 C : 1(a b 0) 的左,右焦点,以 F 为圆心且过 F 的圆与x 轴交于另一

1 2 a2 b2 1 2

点P,与y 轴交于点Q,线段 QF2 与C 交于点A.己知 APF2 与QF1F2 的面积之比为 3: 2 ,则该椭圆的离

心率为( )

2 3 1

A. B. 13 3 C. 3 1 D.

3 4

二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20分。

4

l3.己知 为钝角, sin ,则 sin _______.

5 4

14.甲、乙二人用7 张不同的扑克牌(其中红桃4 张,方片3 张)玩游戏.他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放

在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.则甲、乙二人抽到花色相同的概率为_________.

1

15.己知 f (x) (x a b)ln 1 ,若 f (x) 为偶函数,则 a _________.

x b

x2 y2

16.已知 F (c,0), F (c,0) 分别是双曲线 E : 1(a 0,b 0) 的左,右焦点,过点 F 作E 的渐近线

1 2 a2 b2 2

的垂线,垂足为P.点M在E 的左支上,当 PM x 轴时,| PM | c ,则E 的渐近线方程为_________.

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每

个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共 60分。

17.(12 分)

已知等差数列an 的前n 项和为 Sn ,且 S5 45, S6 60 .

(1)求an 的通项公式;

1

(2)求数列 的前n 项和 Tn .

anan1

18.(12 分)

绵阳市 37家A 级旅游景区,在 2023 年国庆中秋双节期间,接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随

机调查了市区 100 位市民平时外出旅游情况,得到的数据如下表:

喜欢旅游 不喜欢旅游 总计

男性 20 30 50

女性 30 20 50

总计 50 50 100

(1)能否有 95% 的把握认为喜欢旅游与性别有关?

(2)将频率视为概率,从全市男性市民中随机抽取2 人进行访谈,记这2 人中喜欢旅游的人数为 ,求 的

分布列与数学期望.

n(ad bc)2

附: K 2

(a b)(c d)(a c)(b d)

PK 2 k 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

19.(12 分)

在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 a(bcosC c cos B) c2 .

(1)求证: b2 2c2 ;

(2)若 BA BC c,bsin A 2 ,求b.

20.(12 分)

己知直线 l : y kx 2 与抛物线 E : x2 2 py( p 0) 交于A,B 两点,F为E 的焦点,直线FA,FB 的斜率之

和为0.

(1)求E 的方程;

(2)直线FA,FB 分别交直线 y 2 于M,N 两点,若 | MN |16 ,求k 的取值范围.

21.(12 分)

x2 a(x 1)

函数 f (x)

ex

(1)已知 f (x) 在[0,) 上存在零点,求实数a 的取值范围;

2

(2)若 f (x) 在定义域上是单调函数, x , x 满足 f x f x ,证明: x x 2 .

1 2 1 2 e 1 2

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分。

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)

x 3 1 t 2

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正

y 2t

半轴为极轴,建立极坐标系.

(1)求曲线C 极坐标方程;

1 1

(2)若A,B 为曲线C 上的动点,且 OA OB ,求 的值.

| OA |2 | OB |2

23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)

(x y)2 1 1

(1)已知a,b,x,y 均为正数,求证: 并指出等号成立的条件;

ax2 by2 a b

4x2 4x 1

(2)利用(1)的结论,求函数 f (x) (x 0) 的最大值,并指出取最大值时x 的值.

5x2 4x 2

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