理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若 iz 1 i ，则复数 z （ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
x
2．已知 A x2 3, B {xx 2}，则 A B （ ）
A． (,2) B． ,log2 3 C． 0,log2 3 D． log2 3,2
3．已知 a (1,0),| b |1,| a b | 3 ，则 a 与 a b 的夹角为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
y 0,
4．若变量x，y 满足不等式组 2x y 2 0, ，则 x y 的最小值是（ ）
x y 2 0,
A．1 B． 1 C． 2 D． 3
5．已知变量x，y 之间的线性回归方程为 y 2x 1，且变量x，y 之间的一组相关数据如表所示，
x 2 4 6 8
y 5 8.2 13 m
则下列说法正确的是（ ）
A． m 17 B．变量y与x 是负相关关系
C．该回归直线必过点 (5，11) D．x 增加1 个单位，y 一定增加2 个单位
5
1
6． x 的展开式中，x 的系数为（ ）
x
A． 5 B． 10 C．5 D．10
7．已知 x 0, y 0 ，则“ x y 1”是“ x2 y2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数 y f (x 1) 关于直线 x 1对称，且 f (x) 在区间 (0,) 上单调递增，则（ ）
． 0.3 ． 0.3
A f 0.2 f (0.5) f log3 0.5 B f (0.5) f log3 0.5 f 0.2
． 0.3 ． 0.3
C f log3 0.5 f (0.5) f 0.2 D f 0.2 f log3 0.5 f (0.5)
3n 2
9．已知数列a 的前n 项和为 S ，且 S ，则下列说法正确的是（ ）
n n n 3n
4
A． a a B． S S C． 2a S 1 D． 0 a
n n1 n n1 n n n 9
1
10．在平面直角坐标系 xOy 中，角, 的终边与单位圆的交点分别于A，B 两点，且直线AB 的斜率为 ，
2
则 tan( ) （ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
3 4 3 4
11．己知曲线 y x2 2mx m 1与x 轴交于不同的两点A，B，与y 轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C
均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ）
5 2 5
A． B． C．1 D．2
5 5
x2 y2
12．设 F , F 分别为椭圆 C : 1(a b 0) 的左，右焦点，以 F 为圆心且过 F 的圆与x 轴交于另一
1 2 a2 b2 1 2
点P，与y 轴交于点Q，线段 QF2 与C 交于点A．己知 APF2 与QF1F2 的面积之比为 3: 2 ，则该椭圆的离
心率为（ ）
2 3 1
A． B． 13 3 C． 3 1 D．
3 4
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分。
4
l3．己知 为钝角， sin ，则 sin _______．
5 4
14．甲、乙二人用7 张不同的扑克牌（其中红桃4 张，方片3 张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放
在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为_________．
1
15．己知 f (x) (x a b)ln 1 ，若 f (x) 为偶函数，则 a _________．
x b
x2 y2
16．已知 F (c,0), F (c,0) 分别是双曲线 E : 1(a 0,b 0) 的左，右焦点，过点 F 作E 的渐近线
1 2 a2 b2 2
的垂线，垂足为P．点M在E 的左支上，当 PM x 轴时，| PM | c ，则E 的渐近线方程为_________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60分。
17．（12 分）
已知等差数列an 的前n 项和为 Sn ，且 S5 45, S6 60 ．
（1）求an 的通项公式；
1
（2）求数列 的前n 项和 Tn ．
anan1
18．（12 分）
绵阳市 37家A 级旅游景区，在 2023 年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随
机调查了市区 100 位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
（1）能否有 95% 的把握认为喜欢旅游与性别有关？
（2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2 人进行访谈，记这2 人中喜欢旅游的人数为 ，求 的
分布列与数学期望．
n(ad bc)2
附： K 2
(a b)(c d)(a c)(b d)
PK 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（12 分）
在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a(bcosC c cos B) c2 ．
（1）求证： b2 2c2 ；
（2）若 BA BC c,bsin A 2 ，求b．
20．（12 分）
己知直线 l : y kx 2 与抛物线 E : x2 2 py( p 0) 交于A，B 两点，F为E 的焦点，直线FA，FB 的斜率之
和为0．
（1）求E 的方程；
（2）直线FA，FB 分别交直线 y 2 于M，N 两点，若 | MN |16 ，求k 的取值范围．
21．（12 分）
x2 a(x 1)
函数 f (x)
ex
（1）已知 f (x) 在[0,) 上存在零点，求实数a 的取值范围；
2
（2）若 f (x) 在定义域上是单调函数， x , x 满足 f x f x ，证明： x x 2 ．
1 2 1 2 e 1 2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 3 1 t 2
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正
y 2t
半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C 极坐标方程；
1 1
（2）若A，B 为曲线C 上的动点，且 OA OB ，求 的值．
| OA |2 | OB |2
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
(x y)2 1 1
（1）已知a，b，x，y 均为正数，求证： 并指出等号成立的条件；
ax2 by2 a b
4x2 4x 1
（2）利用（1）的结论，求函数 f (x) (x 0) 的最大值，并指出取最大值时x 的值．
5x2 4x 2