数学试题（文科）
命题人：张增伟 张振荣 张涛
注意事项：
1．本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上．
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内．
第卷（选择题 共 60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 z 满足 1 2i z 2 i ，则 z （ ）
2 41
A． B．1 C． D． 41
5 5
2．已知集合 A 0,1,2,3, B x x x 4 0，则 A B （ ）
A．1,2,3 B．x 0 x 4 C．0,1,2,3,4 D．x 0 x 4
3．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm ），则此几何体的表面积是（ ）
21
A． 5 2 cm2 B． cm2 C． 6 2 cm2 D． 6cm2
4
4．在ABC 中， sin2 A sin2 B sin2 C sin BsinC ，则 A 的取值范围是（ ）
A． 0, B． , C． 0, D． ,
6 6 3 3
b b m
5．已知 a,b,m 是正数，“ a b ”是“ ”的（ ）
a a m
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 2
1 0.75 1 0
6． 0.027 3 256 3 2 7 的值是（ ）
6
1
A．105 B．33 C． 69 D． 23
36
11
7．设定义在R 上的偶函数 f x 满足 f x f x ，当 x 0, 时， f x sin x ，则 f
2 6
（ ）
1 3 1 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
8．已知圆 O 的方程为 x2 y2 9 ，直线 l 过点 P 1,2 且与圆 O 交于 M , N 两点，当弦长 MN 最短时，
OM MN （ ）
A． 4 B． 8 C．4 D．8
9．有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值．某地以芍药为主打造了一个
如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的．若在
其中空白部分种植红芍，倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（ ）
1 21 5 55
A． B． C． D．
2 50 9 64
f x
10．已知函数 y f x x R 的图象如图所示，则不等式 0 的解集为（ ）
x 1
1
A． ,0 ,2 B． 1,1 1,3
2
1 1 1
C． , ,2 D． , 1,2
2 2 2
x2 y2
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F , F , A 为双
a2 b2 1 2
曲线右支上一点，连接 AF1 交 y 轴于点 B ．若ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
3 3 3
A． 2 3 B． C． 3 D．
2 2
sin x ,0 x 2
12．已知 ， 若存 在实 数 ， 当 时 ，满 足
f x x xi i 1,2,3,4,5 xi xi1 i 1,2,3,4
e , x 0
5
，则 的取值范围为（ ）
f x1 f x2 f x3 f x4 f x5 xi f xi
i1
1 1 1
． ． ． ．
A , 5 B 3 ,0 C ,4 D 5 ,4
e e e
第卷 （非选择题共 90分）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分．
13．已知一组数据点 xi , yi i 1,2,,7 ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 y 2x 4 ， 若
7 7
，则 ．
xi 7 yi _______
i1 i1
x 3 0
14．已知变量 x, y 满足 x y 4 0 ，则 z x 3y 的最小值为_______．
2x y 4 0
15．在ABC 中， BAC 120, BC 3 ，则ABC 的面积最大值为_______．
16．在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 为等腰三角形， ABC 120 ，且 AC PA ，平面 PAC 平面
ABC, PA BC ，点Q 为三棱锥 P ABC 外接球O 上一动点，且点Q 到平面 PAC 的距离的最大值为1 7 ，
则球O 的表面积为_______．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 1721 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60分．
17．（本小题满分 12 分）已知等差数列an 满足： a2 5,a5 a7 26 ，数列an 的前 n 项和为 Sn ．
（）求 an 及 Sn ；
（）设bn an 是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
18．（本小题满分 12 分）有A，B，C，D，E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B 二人在培训期间参
加的若干次预赛成绩中随机抽取8 次．用茎叶图表示这两组数据如下：
（1）现要从A，B 中选派一人参加技能竞赛，从平均成绩和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？
请说明理由；
（）若从参加培训的5 位工人中选2 人参加技能竞赛，求A，B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
19．（本小题满分 12 分）如图， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO 底面 ABCD, E 是 PC 的中
点．
（）求证： PA平面 BDE ；
（）若 PA AB 2 ，求三棱锥 D BEC 的体积．
20．（本小题满分 12 分）已知函数 f x x x ln x ．
（）求函数 f x 的图像在点 1,1 处的切线方程；
（）若 k Z ，且 k x 1 f x 对任意 x 1恒成立，求 k 的最大值．
x2 y2
21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : 1(a b 0) 与抛物线 E : y2 4x 在第一象限的交点为 P ，
1 a2 b2 2
5
椭圆 E 的左、右焦点分别为 F , F ，其中 F 也是抛物线 E 的焦点，且 PF ．
1 1 2 2 2 2 3
（）求椭圆 E1 的方程；
（）过 F2 的直线 l （不与 x 轴重合）交椭圆 E1 于 M、N 两点，点 A 为椭圆 E1 的左顶点，直线 AM、AN 分
别交直线 x 4 于点 B、C ，求证： BF2C 为定值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
x cos sin
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以O 为极点， x 轴的正半
y cos sin
轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 3 ．
6
（）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（） P 为 l 上一点，过 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A, B ，若 APB ，求点 P 横坐标的取值范
3
围．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知函数 f x x a x 1 ,a R ．
（）当 a 2 时，求不等式 f x 4 的解集；
1
（）对任意 m 0,3 ，关于 x 的不等式 f x m 2 总有解，求实数 a 的取值范围．
m