高三数学试题
一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
z1
z , z z 1,1 , z 0,1 ， z
1. 已知复数 1 2 在复平面内对应的点分别为 1 2 则 2 的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. i D. 1
2. “ sin cos ”是“ ”的（ ）
4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若正数 a,b 满足 ab a b 3 ，则 a b 的取值范围是（ ）
[6,) [9,) 0,6 0,9
A. B. C. D.
4. 具有线性相关关系的变量 x, y 的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y -5 -4.5 -4.2 -3.5
其线性回归直线方程为 $y $bx $a ，则回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
5. 已知点 M 2,4 在抛物线 C: y2 2 px ( p 0 )上,点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 在 ABC 中， AB AC 2AD ， AE 2DE 0 ，若 EB xAB y AC ，则（ ）
A. y 2x B. y 2x C. x 2y D. x 2y
7. 已知奇函数 f (x) 是 R 上增函数， g(x) xf (x) ，则（ ）
3 2
1
A. g(log ) g(2 2 ) g(2 3 )
3 4
2 3
1
B g(log ) g(2 3 ) g(2 2 )
. 3 4
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3 2
1
C. g(2 2 ) g(2 3 ) g(log )
3 4
2 3
1
D. g(2 3 ) g(2 2 ) g(log )
3 4
x2 y2
8. 已知双曲线 C: 1 ,( a 0 ,b 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象
a2 b2
2
限上的点, PF1 2 PF2 2m ,( m 0 ), PF1 PF2 m ,则双曲线 C 的渐近线方程为
1 2
A. y x B. y x C. y x D. y 2x
2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 0 分．
9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）
2
A. x R,2x1 0 B. x N , x 1 0
C. x0 R,lg x0 1 D. x0 R, tan x0 2
10. 将函数 f x sin 2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g x 的图象，则函数 g x 具有性质
4
（ ）
3
A. 在 0, 上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线 x 对称
4 2
3 3
C. 在 , 上单调递增，为奇函数 D. 周期为 ，图象关于点 ,0 对称
8 8 4
11. 已知 m、n 为两条不重合的 直线,、 为两个不重合的平面,则下列说法正确的是
A. 若 m / /,n / / 且 / /, 则 m // n
B. 若 m / /n,m ,n , 则 / /
C. 若 m / /n,n , / /，m , 则 m / /
D. 若 m / /n,n , ，则 m / /
12. 设等比数列an 的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，并满足条件 a1 1 ，
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a2019 1
a2019a2020 1 ， 0 ，下列结论正确的是（ ）
a2020 1
A. S2019 S2020 B. S2019S2020 1 0
C. T2020 是数列Tn中的最大值 D. 数列Tn无最大值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知直线 x y a 0 与圆 o : x2 y2 2 相交于 A ， B 两点（ O 为坐标原点），且 AOB 为等腰直角
三角形，则实数 a 的值为__________；
14. 已知直线 y x 2 与曲线 y ln(x a) 相切，则 a =
15. 2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认
可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄
的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t(单位：年)的衰
t
变规律满足． 5730 表示碳 14 原有的质量)，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的
N N0 2 (N0
3 1
_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 至 , 据此推测良渚古城存在的时期
7 2
距今约在 5730 年到_____年之间．(参考数据：lg20.3，lg70.84，lg30.48)
16. 已知四面体 ABCD 中， AB AD BC DC BD 5, AC 8 ，则四面体 ABCD 的体积为_____
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在 ABC ,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且8absin C 3b2 c2 a2 ,若 a 10 , c 5 .
(1)求 cos A ;
(2)求 ABC 的面积 S.
的
18. 设数列an 前 n 项和为 Sn ，已知 a1 1, Sn1 2Sn 1,n N ．
（1）证明：Sn 1 为等比数列，求出an 的通项公式；
n
（2）若 bn ，求bn 的前 n 项和Tn ．
an
19. 如图所示的多面体中，底面 ABCD 为矩形， BE 平面 ABCD， CC1 平面 ABCD， DF 平面
ABCD， AF / /EC1 ，且 AB=4，BC=2， CC1 3 ，BE=1．
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（）求 BF 的长；
（）求直线 CC1 与平面 AEC1F 成的角的正弦值．
20. 2018 年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养
殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：
方案一，公司每天收取养殖场技术服务费 40 元，对于需要用药的每头猪收取药费 2 元，不需要用药的不
收费；
方案二，公司每天收取养殖场技术服务费 120 元，若需要用药的猪不超过 45 头，不另外收费，若需要用
药的猪超过 45 头，超过部分每天收取药费 8 元.
（1）设日收费为 y （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 n N ，试写出两种方案中 y 与 n 的函数关
系式.
（2）若该医药公司从 10 月 1 日起对甲养殖场提供技术服务，10 月 31 日该养殖场对其中一个猪舍 9 月份
和 10 月份猪的发病数量进行了统计，得到如下 2 2 列联表.
9 月份 10 月份 合计
未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
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根据以上列联表，判断是否有 99.9% 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
n(ad bc)2
附： K 2 ,n a b c d
(a b)(c d)(a c)(b d)
2
p(K k0 ) 0.050 0.010 0.001
10 828
k0 3.841 6.635 .
（3）当地的丙养殖场对过去 100 天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计
数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪
个方案更合适，并说明理由.
a
21. 已知函数 f x ln x a a 0 ．
x
（1）若曲线 y f x 在点 1, f 1 处与 x 轴相切，求 a 的值；
（2）求函数 f x 在区间 1,e 上的零点个数．
x2 y2
22. 给定椭圆 C : 1a b 0 ，称圆心在原点 O 、半径为 a2 b2 的圆是椭圆 C 的“卫星圆”，
a2 b2
2
若椭圆 C 的离心率为 ，点 2, 2 在 C 上.
2
（1）求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1 、 l2 使得 l1 l2 ，与椭圆 C 都只有一个交
点，且 l1 、 l2 分别交其“卫星圆”于点 M 、 N ，证明：弦长 MN 为定值.
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高三数学试题
一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
z1
z , z z 1,1 , z 0,1 ， z
1. 已知复数 1 2 在复平面内对应的点分别为 1 2 则 2 的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. i D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出复平面内 z1, z2 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．
z1 1 i 1 ii
【详解】由题意得 z1 1 i ， z2 i ，所以 1 i ，故 D 正确.
z2 i ii
故选：D.
2. “ sin cos ”是“ ”的（ ）
4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据 sin cos 求出 的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由 sin cos 得 tan 1， k k Z ，
4
因此，“ sin cos ”是“ ”的必要不充分条件.
4
故选：B.
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．
3. 若正数 a,b 满足 ab a b 3 ，则 a b 的取值范围是（ ）
A. [6,) B. [9,) C. 0,6 D. 0,9
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
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【详解】由题意知 a,b 为正数，且 ab a b 3 ，
2
a b 2
所以 ab a b 3 ，化简得 a b 4a b 12 0 ，解得 a b 6 ，
2
当且仅当 a b 3 时取等号，所以 a b6, ，故 A 正确.
故选：A.
4. 具有线性相关关系的变量 x, y 的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y -5 -4.5 -4.2 -3.5
其线性回归直线方程为 $y $bx $a ，则回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据 x，y 呈正相关，得到 b 0 ，再由样本中心在第四象限判断.
【详解】解：由图表中的数据知：x，y 呈正相关，
所以 b 0 ，
1 1
又 x 0 1 2 3 1.5, y 5 4.5 4.2 3.5 4.3 ，
4 4
则样本中心为 1.5,4.3 ，在第四象限，
所以回归直线经过第一、三、四象限，
故选：D
5. 已知点 M 2,4 在抛物线 C: y2 2 px ( p 0 )上,点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
将点 M 2,4 的坐标代入抛物线方程，求出 p 4 ，即得焦点 F(2,0) ，利用抛物线的定义，即可求出．
【详解】由点 M 2,4 在抛物线 y2 2 px 上，可得16 4 p ，解得 p 4 ，
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即抛物线 C : y2 8x ，焦点坐标 F(2,0) ，准线方程为 x 2 ．
所以，点 M 到抛物线 C 焦点的距离为： 2 2 4 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．
6. 在 ABC 中， AB AC 2AD ， AE 2DE 0 ，若 EB xAB y AC ，则（ ）
A. y 2x B. y 2x C. x 2y D. x 2y
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图形，将 AB, AC 作为基底向量，将 EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求
解
【详解】
如图，由题可知，点 D 为 BC 的中点，点 E 为 AD 上靠近 D 的三等分点，
1 1 1 1 2 1
EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC ，
3 2 6 2 3 3
2 1
x , y , x 2y
3 3
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题
7. 已知奇函数 f (x) 是 R 上增函数， g(x) xf (x) ，则（ ）
3 2
1
A. g(log ) g(2 2 ) g(2 3 )
3 4
2 3
1
B. g(log ) g(2 3 ) g(2 2 )
3 4
3 2
1
C. g(2 2 ) g(2 3 ) g(log )
3 4
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2 3
1
D. g(2 3 ) g(2 2 ) g(log )
3 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用定义判断出 g(x) 为偶函数， x 0 时单调递增， x 0 时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函
数值越大，即可比较大小．
【详解】解：由奇函数 f (x) 是 R 上增函数可得，当 x 0 时， f (x) 0 ，
又 g(x) xf (x) ，则 g(x) xf (x) xf (x) g(x) ，
即 g(x) 为偶函数，且当 x 0 时单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当 x 0 时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
2 3
1 1 2 3
3 2 2
因为 g(log3 ) g(log3 4) ， g(2 ) g( ) ， g(2 ) g( ) ，而 log3 4 1， 3 2 ，
4 3 4 4 1 2 2 0
2 3
2 3
1 3 2
即 log3 4 3 2 ，所以 g(log ) g(2 ) g(2 )
2 2 3 4
故选：B．
【点评】本题考查了指数式、对数式比较大小，考查了函数的奇偶性和单调性综合应用，属于中档题.
x2 y2
8. 已知双曲线 C: 1 ,( a 0 ,b 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象
a2 b2
2
限上的点, PF1 2 PF2 2m ,( m 0 ), PF1 PF2 m ,则双曲线 C 的渐近线方程为
1 2
A. y x B. y x C. y x D. y 2x
2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义求出 m 2a ，由向量的数量积，可求出 F1PF2 ，利用余弦定理可得 a,c 的关系式，结合
c 2 a 2 b 2 ，即可求出．
2
【详解】因为 PF1 PF2 2a ， PF1 2 PF2 2m 可得 m 2a ，由 PF1 PF2 m 可得
2
4a 2a cosF1PF2 4a ，所以 F1PF2 60 ，
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1
即有 4c2 4a2 16a2 2 4a 2a 12a2 ，即 c2 a2 b2 3a2 ，
2
b
所以 2 ，
a
所以双曲线的渐近线方程为： y 2x ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，
意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 0 分．
9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）
2
A. x R,2x1 0 B. x N , x 1 0
C. x0 R,lg x0 1 D. x0 R, tan x0 2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.
【详解】指数函数值域为 0, ，所以 x R,2x1 0 ，A 选项正确；
2 2
当 x 1时， x 1 0 ，所以 x N , x 1 0 是假命题，B 选项错误；
当 x0 1时， lg x0 0 1，所以 x0 R,lg x0 1 ，C 选项正确；
函数 y tan x 值域为 R，所以 x0 R, tan x0 2 ，D 选项正确.
故选：ACD.
10. 将函数 f x sin 2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g x 的图象，则函数 g x 具有性质
4
（ ）
3
A. 在 0, 上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线 x 对称
4 2
3 3
C. 在 , 上单调递增，为奇函数 D. 周期为 ，图象关于点 ,0 对称
8 8 4
【答案】ABD
【解析】
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