数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x ln x 1 B x 1 x 3
1．集合 ， ，则 A B （ ）
A. B. x e x 3 C. x e x 3 D. x x 1
2．已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），则 z （ ）
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
6
3 1 10
3． 2x 展开式中 x 项的系数为（ ）
x
A. 240 B. 20 C. 20 D. 240
xex ex
4．函数 f x 的部分图象大致为（ ）
2 cosx
A. B.
C. D.
5．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
ABCD A1B1C1D1 ，上下底面的中心分别为O1 和 O ，若 AB 2A1B1 4 ， A1 AB 60 ，则正四
棱台 ABCD A1B1C1D1 的体积为（ ）
20 2 28 2 20 6 28 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
6．公元9 世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551 年奥地利数学家、天文学
家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形
中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 sec（角）表示；锐角的斜边与其对
边的比，叫做该锐角的余割，用 csc（角）表示，则 3 csc 20 sec 20 （ ）
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 8
7．已知奇函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f x ，且 f 1 x f 1 x x 0 恒成立，则
f 2023 （ ）
1 1
A. 1 B. C. 0 D.
2 2
x2 y2
8．如图，已知双曲线 C : 1(a,b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线与C 分别
a2 b2
在第一二象限交于 A, B 两点，ABF2 内切圆半径为 r ，若 BF1 r a ，则C 的离心率为
（ ）
10 2 5 30 85
A. B. C. D.
2 3 4 5
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．2023年 10月 3 日第 19 届杭州亚运会跳水女子 10 米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该
项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为 xi i 1,2,3,4,5 ，平均数
为 x ，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为 yi i 1,2,3,4 ，平均数为 y ，下面
说法正确的是（ ）
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若 x y ，则新数据的方差一定大于原数据方差
D. 若 x y ，则新数据的第 40 百分位数一定大于原数据的第 40 百分位数
10．已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示．则（ ）
2
A. f (x) 的图象关于 ,0 中心对称
12
5
B. f (x) 在区间 ,2 上单调递增
3
C. 函数 f x 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 g x = 2sin 2x 的图象
6 ( )
1
D. 将函数 f (x) 的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 h(x) 2sin(4x ) 的图象
2 6
11．已知 P 是圆 C : x2 y2 1上一点， Q 是圆 D : (x 3)2 (y 4)2 4 上一点，则（ ）
A. PQ 的最小值为2
B. 圆C 与圆 D 有4 条公切线
4 3
C. 当 PQ 取得最小值时， P 点的坐标为 ( , )
5 5
D. 当 PQ 1 21 时，点 D 到直线 PQ 的距离小于2
12．已知正四面体 P ABC 的棱长为2 ，下列说法正确的是（ ）
A. 正四面体 P ABC 的外接球表面积为 6
B. 正四面体 P ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值
1
C. 正四面体 P ABC 的相邻两个面所成二面角的正弦值为
3
D. 正四面体 Q MNG 在正四面体 P ABC 的内部，且可以任意转动，则正四面体 Q MNG 的
2 2
体积最大值为
81
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．已知等差数列an 前3 项和 S3 12 ， a1 1， a2 1， a3 3 成等比数列，则数列an 的公差
d _______________．
2
14.已知向量 a ， b 满足 a b a 2 ，且 a 1,1 ，则向量 b 在向量 a 上的投影向量为________．
15.正三棱台 A1B1C1 ABC 中， A1B1 1， AB AA1 2 ，点 E ， F 分别为棱 BB1 ， A1C1 的中点，
若过点 A ， E ， F 作截面，则截面与上底面 A1B1C1 的交线长为________．
16．已知函数 f x xex1 2a ln x 的最小值为0 ，则 a 的值为________.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
*
17．已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 2 Sn an 1， n N .
（1）求数列an 的通项公式；
2
（2）若数列bn 满足 bn an ，求数列bn 的前 n 和Tn .
an an1
1 sin A sin B
18．记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
cos A cos B
（1）求 A 2B 的值；
（2）若 a2 2c2 b2 ，求 的最大值．
19．如图，底面 ABCD 是边长为2 的菱形， BAD 60 ， DE 平面 ABCD， CF / /DE ，
DE 2CF ，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45.
（1）求证：平面 BEF 平面 BDE；
（2）求二面角 B-EF-D 的余弦值.
20．“村 BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育
赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风
乡土味欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随
机抽取了男女同学各 50 名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
n(ad bc)2
附： 2 .
a bc d a cb d
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据 0.005的独立性检验，能否有99.5% 的把握认为该中学学
生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范定点射门.据统计，这两
2
名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 1 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，
3 2
求3 人进球总次数 X 的分布列和数学期望.
21．已知函数 f x axex a 0 ， g x x2 .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）当 x 0 时， f x 与 g x 有公切线，求实数 a 的取值范围.
y2
22．已知椭圆 T： x2 1，其上焦点 F 与抛物线 K： x2 4y 的焦点重合.
2
（1）若过点 F 的直线交椭圆 T 于点 A、B，同时交抛物线 K 于点 C、D（如图1 所示，点 C 在椭圆
与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段 AC 大于 BD 长度的大小；
（2）若过点 F 的直线交椭圆 T 于点 A、B，过点 F 与直线 AB 垂直的直线 EG 交抛物线 K 于点 E、G
（如图2 所示），试求四边形 AEBG 面积的最小值.
2024年1月“七省联考”押题预测卷02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x ln x 1 B x 1 x 3
1．集合 ， ，则 A B （ ）
A. B. x e x 3 C. x e x 3 D. x x 1
【答案】C
【解析】由 ln x 1 x e ，即 A x x e A B x e x 3.
故选：C
2．已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），则 z （ ）
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
【答案】A
【解析】由已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），
则 z (1 2i) 3 i ，
3 i 3 i1 2i 1 7i 1 7
所以 z i .
1 2i 1 2i1 2i 5 5 5
故选：A.
6
3 1 10
3． 2x 展开式中 x 项的系数为（ ）
x
A. 240 B. 20 C. 20 D. 240
【答案】D
6 r
1 6r 1 r
【解析】 3 展开式通项 为 r 3 6r r 184r
2x Tr1 C6 2x 1 2 C6 x
x x
2 62 2
由18 4r 10 ，可得 r 2 ，则 1 2 C6 240 ，
6
3 1 10
则 2x 展开式中 x 项的系数为 240.
x
故选：D
xex ex
4．函数 f x 的部分图象大致为（ ）
2 cosx
A. B.
C. D.
【答案】C
xex ex
【解析】根据题意，对于函数 f x ，
2 cosx
xex ex xex ex
有函数 f x f x ，
2 cosx 2 cosx
即函数 f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除 AB ；
xex ex
当 x 0 时， cos x [1,1]，则恒有 f x 0 ，排除 D；
2 cosx
故选：C.
5．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
ABCD A1B1C1D1 ，上下底面的中心分别为O1 和 O ，若 AB 2A1B1 4 ， A1 AB 60 ，则正四
棱台 ABCD A1B1C1D1 的体积为（ ）
20 2 28 2 20 6 28 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因为 ABCD A1B1C1D1 是正四棱台， AB 2A1B1 4 ， A1 AB 60 ，
1
AB A1B1 1 2
侧面以及对角面为等腰梯形，故 AA 2 2 ， AO AC AB 2 2 ，
1 2 2
cosA1 AB
2 2
AO A B 2 ，所以 OO AA2 AO AO 2 ，
1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 2 28 2
所以该四棱台的体积为V OO S S S S (16 4 8) ，
3 1 ABCD A1B1C1D1 ABCD A1B1C1D1 3 3
故选：B.
6．公元 9 世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551 年奥地利数学家、天文学
家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形
中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 sec（角）表示；锐角的斜边与其对边
的比，叫做该锐角的余割，用 csc（角）表示，则 3 csc 20 sec 20 （ ）
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】依题意， 20 角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得
1 1
csc 20 ,sec 20 ，
sin 20 cos 20
3 1 3 cos 20 sin 20 2sin(60 20 )
3 csc 20 sec 20 4
所以 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 1 .
sin 40
2
故选：C
7．已知奇函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f x ，且 f 1 x f 1 x x 0 恒成立，则
f 2023 （ ）
1 1
A. 1 B. C. 0 D.
2 2
【答案】B
1
【解析】设 g(x) f (x) x ，则 g(x) 为 R 上可导的奇函数， g(0) 0 ，
2
1 1
由题意得 f 1 x (1 x） f 1 x (1 x) ，
2 2
得 g(1 x) g(1 x) ，所以 g x 2 g 1 x 1 g x g x ，
g x 4 g x 2 2 g x 2 g x ，
又 g(1 x) g(1 x) ，即 g(1 x) g(1 x) ，
所以 g(1 x) g(1 x) ，等式两边对 x 求导，
得 g(1 x) g(1 x) ，令 x 0 ， g(1) g(1) ，所以 g(1) 0 .
由 g(x 4) g(x) ，两边对 x 求导， g(x 4) g(x) ，所以 g(x) 的周期为 4，
1 1
所以 g(2023) g(1) 0 ，因为 g(x) f (x) x ，所以 g (x) f (x) ，
2 2