数学学科试卷
（总分 150 分，时间：120 分钟）
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2 i
z 2 5
1. 设 1 i i ，则 z （ ）
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i
2. 已知两个向量 a (1, 1,2)，b (2, m,n) ，且 a / /b ，则 mn （ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
5
2
3. 在 2 的展开式中，常数项为（ ）
x 3
x
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
4. 已知 l，m 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， l ， m ，则 l m
B. 若 m ， ，则 m / /
C. 若 l//m ， l ， m ，则 / /
D. 若 / / ，且l 与 所成的角和 m 与 所成的角相等，则 l//m
5. 2023 年杭州亚运会期间，甲、乙、丙 3 名运动员与 5 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不
排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400
6. 一个袋中装有大小相同的 3 个白球和 2 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，记“第 1 次
拿出的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则 PBA （ ）
1 3 3 1
A. B. C. D.
4 10 5 2
x2 y2
7. 已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线
1 2 a2 b2 2
交双曲线于点 P ，若 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为（ ）
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A. 3 B. 5 C. 3 D. 2
2 2
8. 已知函数 f x ex1 e1x x3 3x2 3x ，若实数 x, y 满足 f x f 2 y 1 2 ，则 x 1 y2
的最大值为（ ）
3 2 3 2 5 2 5 3
A. B. C. D.
2 4 4 4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 某校 1500 名学生参加数学竞赛，随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方
图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中 a 的值为 0.005 B. 估计这 40 名学生的竞赛成绩的第 60 百分位数为
75
C. 估计这 40 名学生的 竞赛成绩的众数为 80 D. 估计总体中成绩落在60,70 内的学生人数为 225
10. 已知斜率为 3 的直线l 经过抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，与抛物线 C 交于点 A, B 两点（点 A
在第一象限），与抛物线的准线交于点 D ，若 AB 8 ，则以下结论正确的是（ ）
3
A. p B. AF 6
2
C. BD 2 BF D. F 为 AD 中点
11. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜
色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现
有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等
量调配， A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下
列说法正确的是（ ）
A. 事件 A 与事件 C 是独立事件 B. 事件 A 与事件 B 是互斥事件
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C. PC A 0 D. PB PC
1 *
12. 在数列an 中， a1 0,a2 1,an2 an1 an n N .则下列结论中正确的是（ ）
2
A. 0 an 1 B. an1 an 是等比数列
a a a a a a
C. 14 16 15 D. 15 16 14
三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知 M 1,2 是角 终边上的一点，则 sin2 ______．
14. 已知圆锥的侧面积为 2 ，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为 ，则该圆锥体积为
___________.
2
15. 设点 P x, y 是圆： x 3 y2 4 上的动点，定点 A0,2 ， B0,2 ，则 PA PB 的取值范围为
______．
16. 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 3 ， BC 6 ， AB AC 3 2 ， P 为线段 A1B1 上的一
点，且二面角 A BC P 的正切值为 3，则三棱锥 A A1C1P 的外接球的体积为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
sinC sinA sinB
17. 记 ABC 的角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 ．
3c b c a
（1）求 A ；
c
（2）若 b 2 3 ，求 a 的最小值．
2
18. 已知函数 f x ex1 ，若函数 y f x 的图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 都在函数 g(x) 的图
象上．
（1）求函数 g(x) 的解析式；
（2）若存在 x 0,1 ，使 f x g(x) m 成立，求实数 m 的取值范围．
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19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD底面 ABCD，且PAD 是边长为 2 的等边
三角形， PC 13 ，M 在 PC 上，且 PA平面 MBD.
（1）求证：M 是 PC 的中点.
AF
（2）在 PA 上是否存在点 F，使二面角 F-BD-M 为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
AP
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有 32 个，红
黑各有 16 个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰
富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过 3 轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙
2 1
两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，丙与甲，乙比赛获胜的概率
3 3
1
都为 .
2
（1）如果甲与乙采用 5 局 3 胜制比赛（其中一人胜 3 局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛
的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比
赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率．
2 2
x y 1 3
21. 已知椭圆 C : 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 c,0, F2 c,0 ，离心率为 ，点 1, 在
a2 b2 2 2
椭圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
的
（2）过点 D3,0 直线l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，记ABF1 的面积为S ，求S 的最大值.
22. 设数列an 的前 n 项之积为Tn ，满足 2an Tn ln N .
1
（1）设 bn 1 ，求数列bn 的通项公式 bn ；
Tn
n 1 1
（2）设数列an 的前 n 项之和为 Sn ，证明： S ln T 1 .
n 2 2 n 4
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三明一中 2023-2024 学年高三月考二
数学学科试卷
（总分 150 分，时间：120 分钟）
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2 i
z 2 5
1. 设 1 i i ，则 z （ ）
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数 z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2 i 2 i i2 i 2i 1
【详解】由题意可得 z 1 2i ，
1 i2 i5 11 i i2 1
则z 1 2i .
故选：B.
2. 已知两个向量 a (1, 1,2)，b (2, m,n) ，且 a / /b ，则 mn （ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为 a / /b ，
所以 b a ， R ，
2
故 (2, m,n) (1, 1,2) ，即 m ，
n 2
m 2
解得 ， mn 2 .
n 4
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故选：A.
5
2
3. 在 2 的展开式中，常数项为（ ）
x 3
x
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】
r r 105r
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项为Tr1 2 C5 x ，进而求得展开式的常数项，得到答案.
2 5 2
【详解】由二项式 2 展开式的通项为T Cr (x2 )5r ( )r 2r Cr x105r ，
x 3 r1 5 3 5
x x
5
2 2 2
令 ，可得T 2 C 40 ，即二项式 2 展开式的 常数项为 .
r 2 3 5 x 3 40
x
故选：C.
4. 已知 l，m 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， l ， m ，则 l m
B. 若 m ， ，则 m / /
C. 若 l//m ， l ， m ，则 / /
D. 若 / / ，且l 与 所成的角和 m 与 所成的角相等，则 l//m
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.
【详解】若 ， l ， m ，则l 与 m 有可能平行，故 A 错误；
若 m ， ，则 m 可能在 内，故 B 错误；
若 l//m ， l ，则 m ，又 m ，则 // ，故 C 正确；
若 // ，且l 与 所成的角和 m 与 所成的角相等，则l 与 m 有可能相交，故 D 错误.
故选：C.
5. 2023 年杭州亚运会期间，甲、乙、丙 3 名运动员与 5 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不
排在两端，则不同的排法种数有（ ）
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A. 1120 B. 7200 C. 8640 D. 14400
【答案】B
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.
2 6
【详解】甲与乙相邻有 A2 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的 5 人排好，有 A6 种不同
的排法，
1
再将丙排入隔开的不在两端的 5 个空中，有 C5 种不同的排法，
2 6 1
所以共有 A2A6C5 =7200 种不同的排法．
故选：B.
6. 一个袋中装有大小相同的 3 个白球和 2 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，记“第 1 次
拿出的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则 PBA （ ）
1 3 3 1
A. B. C. D.
4 10 5 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.
3 3 2 3
【详解】由已知条件得 P A , P AB ,
5 5 4 10
由条件概率公式可得
3
P AB 10 1
PBA .
P A 3 2
5
故选：D.
x2 y2
7. 已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线
1 2 a2 b2 2
交双曲线于点 P ，若 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. 5 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
b
【分析】设过 F 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P ，运用双曲线的定义和条件可
2 a
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得| PF1 | 3a ，| PF2 | a ，| F1F2 | 2c ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所
求值．
b
【详解】设过 F 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P ，
2 a
由双曲线的定义可得| PF1 | | PF2 | 2a ，
由| PF1 | 3| PF2 | ，可得| PF1 | 3a ，| PF2 | a ，| F1F2 | 2c ，
1 a
cosF1F2 P
b 2
由 tan F1F2 P 可得 b c ，
a 1
a2
在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得：
2 2 2
| PF1 | | PF2 | | F1F2 | 2 | PF2 | | F1F2 | cosF1F2 P ，
a
即有 9a2 a2 4c2 2a 2c ，化简可得 c2 3a2 ，
c
c
所以双曲线的离心率 e 3 ．
a
故选：C．
2 2
8. 已知函数 f x ex1 e1x x3 3x2 3x ，若实数 x, y 满足 f x f 2 y 1 2 ，则 x 1 y2
的最大值为（ ）
3 2 3 2 5 2 5 3
A. B. C. D.
2 4 4 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先对 f x 进行变形，构造函数 g x ex1 e1x ， h x x 13 ，推得 f x 其对称中心为
1,1 ，且 R 上在单调递增，再结合对称性和单调性将 f x2 f 2 y2 1 2 转化为 x2 2y2 3 ,再利用
基本不等式求解 x 1 y2 的最大值.
3
【详解】由 f x ex1 e1x x3 3x2 3x ex1 e1x 1 x 1 ，
记 g x ex1 e1x ， h x x 13 ，
3 3
则 g x g 2 x ex1 e1x e1x ex1 0 ， h x h2 x x 1 1 x 0 ，
1
且 y ex1 单调递增， y 单调递增，
ex1
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则 g x 与 h x 都关于 1,0 中心对称且为 R 上的增函数,
所以 f x f 2 x g x h x 1 g 2 x h2 x 1 2 ，
故 f x 关于 1,1 中心对称且为 R 上增函数，
则由 f x2 f 2 y2 1 2 ，得 x2 2 y2 1 2 ，可得 x2 2y2 3 ，
记 A x 1 y2 ，
2 2 2
2 2 2 1 2 2 1 x 2 2 y 25
则 A x 1 y x 2 2 y ，
2 2 2 8
x 0 10
x
5 2 2 2 2
可得 A ，当且仅当 x 2 2y ，即 取等号，
4 2 2 1
x 2y 3 y
2
5 2
故 x 1 y2 的最大值为 .
4
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得 f x 的对称中心，从而得到 x ， y 的关系，进而利用基本不
等式求解最值.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 某校 1500 名学生参加数学竞赛，随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方
图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中 a 的值为 0.005 B. 估计这 40 名学生的竞赛成绩的第 60 百分位数为
75
C. 估计这 40 名学生的竞赛成绩的众数为 80 D. 估计总体中成绩落在60,70 内的学生人数为 225
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【答案】AD
【解析】
【分析】先根据频率之和为 1 可得 a 0.005 ，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即
可.
【详解】由10(2a 3a 7a 6a 2a) 1，可得 a 0.005 ，故 A 正确；
前三个矩形的面积和为10(2a 3a 7a) 0.6 ，
所以这 40 名学生的竞赛成绩的第 60 百分位数为80 ，故 B 错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这 40 名学生的竞赛成绩的众数为 75 ，故 C 错误；
总体中成绩落在60,70 内的学生人数为 3a101500 225，故 D 正确.
故选：AD
10. 已知斜率为 3 的直线l 经过抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，与抛物线 C 交于点 A, B 两点（点 A
在第一象限），与抛物线的准线交于点 D ，若 AB 8 ，则以下结论正确的是（ ）
3
A. p B. AF 6
2
C. BD 2 BF D. F 为 AD 中点
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点 A, B 作抛物线 C 的准线 m 的垂线，垂足分别为点 E 、 M .
抛物线 C 的准线 m 交 x 轴于点 P ，则 PF p ，
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