数 学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，
并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题 p : a D ，命题 q : x R ， x2 ax a 3，若 p 是 q 成立的必要不充分
0 0 0
条件，则区间 D 可以为( )
A. (,4) (0,) B. (,6][2,)
C. (6,2) D.[4,0]
1 1 1
2 3 2 3 4 2
2.设 a ,b , c ,则 a,b,c 的大小关系正确的是( )
3 5 5
A. a b c B. a c b C. c a b D.b c a
2
3.已知 0, ， 0, ，且sin 2 cos 2cos 1 sin ，则下列结论正确的
2 2
是( )
A. 2 B. 2
2 2
C. D.
2 2
2
4.已知向量 a 1,2 ,b k ,1 , k R , a ,b 的夹角为 ,若存在实数 m 使得
b cos 5m 0 ,则 m 的取值范围是( )
1 2 1
A. , B.0, C. , D. ,
2 5 2
1
x2 y2
5.已知双曲线C : 1a 0,b 0的左焦点为 F ，直线 y kxk 0与双曲线 C
a2 b2 1
2 1 b2
交于 P，Q 两点，且 PFQ ， PF FQ 4 ，则当 a2 取得最小值时，双曲线
1 3 1 1 2 a2
C 的离心率为( )
A.3 B. 3 C.2 D. 2
6.已知点 A(m,3) ， B(2m,m 4) ，C(m 1,2) ， D(1,0) ，且直线 AB 与直线 CD 平行，则
实数 m 的值为( )
A.1 B.0 C.0或 2 D.0或1
7.如图,正六边形 的边长为 2,取正六边形 各边的中点 , ,
A1B1C1D1E1F1 A1B1C1D1E1F1 A2 B2
, , , ,作第二个正六边形 ;然后再取正六边形 各
C2 D2 E2 F2 A2B2C2D2E2F2 A2B2C2D2E2F2
边的中点 , , , , , ,作第三个正六边形 ;依此方法一直继续
A3 B3 C3 D3 E3 F3 A3B3C3D3E3F3
下去……,则第 2022 个正方形的面积为( )
2021 2022
2021 2022
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
6 3 6 3 6 3 6 3
2 2 4 4
1
8.已知 a 1 tan 0.2 ,b ln 0.8e , c ,其中e 为自然对数的底数,则( )
e0.2
A. a b c B. c a b C.b a c D. a c b
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2分.
9.若存在实数 a，b，c 满足等式9a4 16b 81 24a2 b ，9a2 16 b 8c ，则 c 的值
可能为( )
2
9 27 9 27
A. B. C. D.
2 2 8 8
10.甲,乙两楼相距 20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30 ,则下列说法正确的有( )
A.甲楼的高度为 20 3m B.甲楼的高度为10 3m
40 3
C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 3m
3
11.在如图所示的空间直角坐标系中， ABCD A1B1C1D1 是棱长为1 的正方体，则( )
A.平面 ABB A 的一个法向量为 (0,1,0) B.平面 B CD 的一个法向量为 (1,1,1)
1 1 1
C.平面 B1CD1 的一个法向量为 (1,1,1) D.平面 ABC1D1 的一个法向量为 (0,1,1)
sin x
12.直线 x ay a 0 是曲线 y 的切线,则实数 a 的值可以是( )
x
A.3B.C. D.
2 3
三、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.
13.有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始
10 分钟内只进水，不出水，在随后的 30 分钟内既进水又出水，得到时间 x（分）与水
量 y（升）之间的关系如图所示，则 y 与 x 的函数关系式为________.
14.在平面直角坐标系 xOy 中，角 是以 O 为顶点，Ox 轴为始边，若角 的终边过
点3,4 ，则sin 的值等于________.
4
3
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米
依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米
（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米
堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为 1.6 立方尺,圆周率约为 3,
估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）
16.在空间直角坐标系中,已知OA 3,2,1 ,OB 1,0,5,OC 1,2,1 ,点 M 为线段
AB 的中点,则 CM ________.
四、解答题：本大题共6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
17.（10 分）已知函数 f (x) sin xsin x 3 cos x .
2
（1）求 f (x) 的最小正周期和最大值；
2
（2）讨论 f (x) 在 , 上的单调性.
6 3
18.（12 分）已知各项均为正数的数列 满足 ,其中 是数列 的前
an 2 Sn an 1 Sn an
n 项和.
(1)求数列 的通项公式；
an
4
1 1 1 1
(2)若对任意 ,且当 时,总有 恒成立,求实
n N n 2
4S1 S2 1 S3 1 Sn 1
数 的取值范围.
19.（12 分）如图,四棱锥 P ABCD 的底面为正方形, PD 平面 ABCD, PD AD 2 ,M
是侧面 PBC 上一点.
(1)过点 M 作一个截面 ,使得 PA 与 BC 都与 平行.作出 与四棱锥 P ABCD 表面
的交线,并证明；
1 1 15
(2)设 BM BC BP ,其中 [0，].若 PB 与平面 MCD 所成角的正弦值为 ,求
2 2 5
的值.
20.（12 分）如图，设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点，点 D 是点 P 在 x 轴上的投影，M
5
4
为 PD 上的一点，且| MD | | PD |.
5
（1）当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；
4
（2）求过点 (3,0) 且斜率为 的直线被曲线 C 截得的线段的长度.
5
21.（12 分）新高考实行“ 31 2 ”模式,其中“3”为语文,数学,外语这3 门必选科
目,“1”由考生在物理,历史2 门首选科目中选择1门,“2”由考生在政治,地理,化学,
生物这4 门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为
物理,再选科目为化学,生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个,求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选
科要求的概率;
（2）假设甲,乙,丙三人每人选择任意1 个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一
人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.
6
2 x 1
22.（12 分）已知函数 f x alnx (a 0) .
x 1
（1）若函数 f x 在区间0,上为增函数，求 a 的取值范围；
* 2 1 3 2 n 1 n 1
（2）设 n N ，证明： ln n 1 .
2 1 3 2 n 1 n 4
7
数学参考答案
一、单项选择题
1.答案：A
2 2
解析：命题 q : x0 R ， x0 ax0 a 3，则 x0 ax0 a 3 0 ，
所以 a2 4(a 3) 0 ，解得 a 6或 a 2
又 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 (,6][2,) D ，
所以区间 D 可以为 (,4) (0,) .
2.答案：C
1 1 1
2 3 2 3 4 2
解析:a ,b , c ,
3 5 5
1 1
1
3 3
3 2 2 2 2
函数 y x 是增函数, , ,
3 5 3 5
a b ,且1 a b
1 1
4 2 5 2
又 1,即 c 1 a b ,
5 4
综上可得, c a b ,
故选:C.
3.答案：A
解析：有sin 2 cos 2cos2 1 sin ，
得 2sin cos cos 2cos2 1 sin ，sin cos cos sin cos ，
sin cos sin ，由于 0, ， 0, ，所以 ，
2 2 2 2
2 ，故选A.
2
4.答案：C
5
解析: b cos 5m 0 ,则 m b cos , a (1,2) ,
5
1
2 2
则 a 1 2 5 ,
a b cos
a b 2
故 m , a b k 2 2 ,
5 5
a b 2
由题意可知, m .
5 5
max
故选:C.
5.答案：D
解析：不妨设 P 位于第一象限，双曲线 C 的右焦点为 F2 ，连接 PF2 ， F2Q ，
O 为 PQ, F F 中点，四边形 PFQF 为平行四边形，PF FQ ， F PF ；
1 2 1 2 2 1 1 2 3
设 PF1 m ， PF2 nm,n 0，则 m n 2a ，
1
由 PF FQ 4 得： PF PF mncos mn 4，解得： mn 8 ；
1 1 1 2 3 2
2 2
在PF F 中， F F m2 n2 2mncos m n mn 4a2 8 4c2 ，
1 2 1 2 3
b2 c2 a2 2 ，
1 b2 a2 2 a2 2
a2 2 2 （当且仅当 a2 2 时取等号），
2 a2 2 a2 2 a2
1 b2 b2
当 a2 取得最小值时，双曲线 C 的离心率 e 1 2 .
2 a2 a2
故选：D.
6.答案：D
解析：方法一：当m 0 时，直线 AB 与直线 CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线
m 1 2 m 1 2
AB 与直线 CD 平行；当 m 0 时，k ， k ，由 ，解得 m 1，且
AB m CD m m m
2
两直线不重合.综上，m 的值为0或 1.
方法二：直线 AB 的一个方向向量为AB (m,m 1) ，直线 CD 的一个方向向量为
DC (m,2) ，因为直线 AB 与直线 CD 平行，所以AB//DC ，所以 AB DC( 0) ，即
m m,
(m,m 1) (m,2) ，所以 解得m 0 或1，且直线 AB 与 CD 不重合.
m 1 2,
7.答案：C
解析：由题知第 n 个正六边形的面积组成一个等比数列 ,
an
3 3 n1
其中 , q ,所以 ,
a1 6 3 an 6 3
4 4
2021
故 3 ,
a2022 6 3
4
故选：C.
8.答案：B
解析: a 1 tan 0.2 ,b 1 ln 0.8 , c e0.2 ,
则b c 1 ln 0.8 e0.2 ,令 f x 1 ln x ex1 , x 0,1,
1
则 f x ex1 在 x 0,1上递减,则 f x f 1 0 ,
x
所以 f x 在 x 0,1上递增,则 f x f 1 0 ,即b c ,
则 a c 1 tan 0.2 e0.2 ,令 g x 1 tan x ex , x 0,1 ,
1
则 g x ex 在 x 0,1上递减,则 g x g0 0 ,
cos2 x
所以 g x 在 x 0,1上递减,则 g x g 0 0 ,即 a c ,
故选:B
二、多项选择题
9.答案：ACD
2
解析：由式9a4 16b 81 24a2 b ，可得3a2 4 b 81，
3a2 4 b 9 ，则3a2 9 4 b ， 4 b 9 3a 2 ，
3