数学试题
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形
2．本试卷满分 150 分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第
1 页至第 3 页，第卷为第 3 页至第 4 页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用 0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第卷（共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
M x x2 x 2 0 N {x Z 2x 1 0}
1. 已知集合 ， ，则 M N （ ）
1 3 1
A. , B. ,1 C. {0,1,2} D. {0,1}
2 2 2
2. 已知复数 z 满足 1 2i z 3 2i ，则复数 z 的实部为（ ）
8 8 1 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
2 *
3. 数列an 满足 an1 an ， n N ，则“ a1 2 ”是“an 为单调递增数列”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的 小正方体
中任取一个，恰好抽到 2 个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
2 8 4 1
A. B. C. D.
9 27 9 2
5. 如图在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点. 设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面
A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是
3 6
A. [ ,1] B. [ ,1]
3 3
6 2 2 2 2
C. [ , ] D. [ ,1]
3 3 3
x2 y2
6. 如图， F1 F2 是双曲线 C ： 1a 0,b 0 的左右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 交于 A B
a2 b2
两点.若 A 是 BF2 中点且 BF1 BF2 则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y 2 3x B. y 2 2x
C. y 3x D. y 2x
2 ax, x 1
7. 已知函数 f x 1 3 11 ，若对任意 x1 x2 都有
x3 ax2 2a2 2 x , x 1
3 2 6
f x1 f x2 2x1 2x2 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 3
A. ,2 B. 1, C. 2, D. ,
2 4
8. 棱长为 2 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最
大半径为（ ）
3 2 6 6
A. B. C. D.
3 6 12 6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 一组数据 a1,a2 ,,a2023 (a1 a2 a3 a2023 ) ，记其中位数为 k，均值为 m，标准差为 s1 ，由其得
到新数据 2a1 1,2a2 1,2a3 1,,2a2023 1的标准差为 s2 ，下列结论正确的是（ ）
A. k a1012 B. a1011 m a1012 C. m k D. s2 2s1
10. 已知函数 f x sin x 0, , x1, x2 为 f x 的两个极值点，且 x1 x2 的最小值为
2
，直线 x 为 f x 图象的一条对称轴，将 f x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g x 的图
2 3 12
象，下列结论正确的是（ ）
A = 4 B.
. 6
C. f x 在间 ,0 上单调递增 D. g x 图象关于点 ,0 对称
6 6
2sin x,0 x 2
11. 已知函数 f x 1 ，下列说正确的是（ ）
f x 2, x 2
2
* 1
A. 当 x 2n,2n 2 n N 时， f x sin x 2n
2n
1 *
B. 函数 f x 在 2n,2n n N 上单调递增
2
C. 方程 f x lg x 2 有 4 个相异实根
D. 若关于 x 的不等式 f x k x 2 在2,4 恒成立，则 k 1
12. 圆柱 OO1 高为 1，下底面圆 O 的直径 AB 长为 2， BB1 是圆柱 OO1 的一条母线，点 P,Q 分别在上、下
底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A. 若 PA PB 3 ，则 P 点的轨迹为圆
B. 若直线 OP 与直线 OB1 成 45 ，则 P 的轨迹是抛物线的一部分
C. 存在唯一的 一组点 P,Q ，使得 AP PQ
D. AP PQ QB1 的取值范围是[ 13,2 3 5]
第卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知点 A1,1 ， B3, y ，向量 a 1,2 ，若 AB 与 a 成锐角，则 y 的取值范围为________．
14. 如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为
上、下两个部分，其侧面积的比为1: 2 ，则 R _______．
15. 若关于 x 的不等式 x2 1ex ax2 在 0, 恒成立，则实数 a 的取值范围是______．
x2 y2
16. 已知椭圆 C : 1a b 0 ，过 C 中心的直线交 C 于 M，N 两点，点 P 在 x 轴上其横坐标是
a2 b2
点 M 横坐标的 3 倍，直线 NP 交 C 于点 Q，若直线 QM 恰好是以 MN 为直径的圆的切线，则 C 的离心率
为_________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记 AABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinC sin Bc b asin A sin B ．
（1）求角 C 的大小
（2）若 ACB 的平分线交 AB 于点 D，且 CD 2 ， AD 2DB ，求 AABC 的面积．
18. 如图，三棱锥 S – ABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形，且平面 SBC 平面 ABC ，点 P
在侧棱 SA 上．
（1）当 P 为侧棱 SA 的中点时，求证： SA 平面 PBC ；
PA
（2）若二面角 P – BC – A的大小为 60，求 的值．
SA
2n 1
19. 已知在数列 a 中， *
n a1 1,an1 an n N
n
（1）求数列an 的通项公式；
an
（2）若数列b 的通项公式 bn 在 b 和 b 之间插入 k 个数，使这 k 2 个数组成等差数列，将插入
n n k k 1
的 k 个数之和记为 ck ，其中 k 1，2，…，n，求数列cn 的前 n 项和．
20. 某中学有 A，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐
都在学校就餐，近一个月（30 天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚
A, A A, B B, A B, B
餐）
王同学 9 天 6 天 12 天 3 天
张老师 6 天 6 天 6 天 12 天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记 X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求 X 的分布列和数学期望 E X ；
（3）假设 M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去 A 餐厅就餐”， PM 0 ，已知推
出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证
明． PM N M N ．
21. 已知函数 f x ln x ， g x ex ．
x 1
（1）若函数 x f x ，求函数 x 的单调区间；
x 1
（2）设直线l 为函数 f x 的图象上一点 A x0 , f x0 处的切线．证明：在区间 1, 上存在唯一的 x0
，使得直线l 与曲线 y g x 相切．
22. 已知动圆过点 F(0,1) ，且与直线 l : y 1相切，设动圆圆心 D 的轨迹为曲线 C ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过l 上一点 P 作曲线 C 的两条切线 PA, PB ， A, B 为切点， PA, PB 与 x 轴分别交于 M ， N 两
点．记AFM ，APMN ，ABFN 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ．
（）证明：四边形 FNPM 为平行四边形；
S 2
（）求 2 的值．
S1S3
山东省实验中学 2024 届高三第三次诊断考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形
2．本试卷满分 150 分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第
1 页至第 3 页，第卷为第 3 页至第 4 页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用 0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第卷（共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
M x x2 x 2 0 N {x Z 2x 1 0}
1. 已知集合 ， ，则 M N （ ）
1 3 1
A. , B. ,1 C. {0,1,2} D. {0,1}
2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合 M,N，根据交集运算得解.
2 1
【详解】因为 M x x x 2 0 {x 1 x 2}， N x Z x ，
2
所以 M N {0,1} ．
故选：D．
2. 已知复数 z 满足 1 2i z 3 2i ，则复数 z 的实部为（ ）
8 8 1 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数 z，即可得答案.
3 2i 3 2i(1 2i) 18i 1 8
【详解】由 1 2i z 3 2i 可得 z i ，
1 2i 5 5 5 5
1
故复数 z 的实部为 ，
5
故选：D
2 *
3. 数列an 满足 an1 an ， n N ，则“ a1 2 ”是“an 为单调递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
2
【详解】解：由 an1 an an an an an 1 0 ，解得 an 0 或 an 1 ，
所以“ a1 2 ”是“an 为单调递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体
中任取一个，恰好抽到 2 个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
2 8 4 1
A. B. C. D.
9 27 9 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】一共有 3 3 3 27 个小正方体，
其中 2 个面有颜色的小正方体有12 个，（每条棱上有1个）
12 4
所以恰好抽到 2 个面有颜色的 小正方体的概率为 .
27 9
故选：C
5. 如图在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点. 设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面
A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是
3 6
A. [ ,1] B. [ ,1]
3 3
6 2 2 2 2
C. [ , ] D. [ ,1]
3 3 3
【答案】B
【解析】
1 3 1
【详解】设正方体的棱长为 1， 则 AC 2, AC 3, AO OC 1 ,OC ， 所 以
1 1 1 1 1 2 2 2
3 3 3 1
2 3
2 2 1 2 2 2 2 3 6
cosAOC ,sin AOC ， cosA1OC ,sin A1OC .
1 1 3 3 1 1 3 3 3 3
2 2
2 2
6
又直线与平面所成的角小于等于 90 ，而 A1OC 为钝角，所以 sin 的范围为[ ,1] ，选 B.
3
【考点定位】空间直线与平面所成的角.
x2 y2
6. 如图， F1 F2 是双曲线 C ： 1a 0,b 0 的左右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 交于 A B
a2 b2
两点.若 A 是 BF2 中点且 BF1 BF2 则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y 2 3x B. y 2 2x
C. y 3x D. y 2x
【答案】A
【解析】
【分析】设 AB AF2 m ，利用双曲线的定义得 AF1 AF2 2a m 2a, BF1 BF2 2a 2m 2a ，
b b
再利用勾股定理建立方程组，消去 m ,得到13a2 c2 ，进而得到 的值，由 y x 得到双曲线的渐近线
a a
方程.
【详解】设 AB AF2 m, AF1 AF2 2a m 2a, BF1 BF2 2a 2m 2a ，
2 2 2 2 2 2
BF1 BA AF1 , BF1 BF2 F1F2 ,
2 2
2m 2a m2 m 2a ，
2
2m 2a 4m2 4c2 ,
由可得 m 3a,
代入式化简得：13a2 c2 ,
b
12a2 b2 , 2 3 ,
a
b
所以双曲线的渐近线方程为 y x 2 3x .
a
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的
定义.
2 ax, x 1
7. 已知函数 f x 1 3 11 ，若对任意 x1 x2 都有
x3 ax2 2a2 2 x , x 1
3 2 6
f x1 f x2 2x1 2x2 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 3
A. ,2 B. 1, C. 2, D. ,
2 4
【答案】A
【解析】
【分析】转化为任意 x1 x2 都有 f x1 2x1 f x2 2x2 ，令 g x f x 2x ，得到 g x 在 R 上
递增求解.
【详解】解：因为若对任意 x1 x2 都有 f x1 f x2 2x1 2x2 ，
所以对任意 x1 x2 都有 f x1 2x1 f x2 2x2 ，
令 g x f x 2x ，则 g x 在 R 上递增，
当 x 1时， g x 2 a 2 x ，则 a 2 0 ，即 a 2 成立；
1 3 11
当 x 1时， g x x3 ax2 2a2 x2 ，
3 2 6
则 g x x2 3ax 2a2 ，
3a 2 1
当 1，即 a 时， g1 1 3a 2a2 0 ，解得 a ；
2 3 2
3a 2 3a 1 2
当 1，即 a 时， g a 0 ，无解；
2 3 2 4
1 3 11 3
又 2 a 2 a 2a2 ，即 4a2 a 3 0 ，解得 a 或 a 1，
3 2 6 4
综上： a 2 ，
故选：A.
8. 棱长为 2 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最
大半径为（ ）
3 2 6 6
A. B. C. D.
3 6 12 6
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用VABCD VOBCD VO ABC VO ACD VO ABD 求出内切球的
AO O H
半径，再通过 1 1 求出空隙处球的最大半径即可.
AO OF
【详解】由题，当球和正四面体 A BCD 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球的球心为 O ，半径为 R，空隙处最大球的球心为O1 ，半径为 r ，
G 为BCD 的中心，得 AG 平面 BCD ， E 为 CD 中点，
球 O 和球O1 分别和平面 ACD 相切于 F ， H ，
2 2 3
在底面正三角形 BCD 中，易求 BE 3 ， BG BE ，
3 3