数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．若全集 U = R ， A={ xx|1< } ， B={ xx|1 >} ，则（ ）
A． AB B．U AB= C． BA U D． AB = R
3i+ a
2．已知i 为复数单位， =2i + ，则 za=1i + 的模为（ ）
1i
A． 2 B．1 C．2 D．4
3.在三角形 ABC 中， AC = 3， AB = 4 ， =CAB 1200 ，则( AB+ AC) = AB （ ）
A．10 B．12 C．-10 D．-12
1 1 tan
4．sin(+) sin ( +=) ， cos sin = ，则 = （ ）
2 3 tan
3 4 3 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
2
5.在等比数列{an }中， a2 ， a6 是方程 x80 xm +=两根，若 aa35= 3 a 4，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． 9 D． 3
6．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平
台．大剧院的平面投影是椭圆C ，其长轴长度约为 212m ，短轴长度约为144m ．若直线l 平行于长轴
且C 的中心到l 的距离是 24m ，则l 被C 截得的线段长度约为（ ）
A．140m B．143m C． 200m D． 209m
22
7.“b = 10 ”是“直线 xyb++=0 与圆 C : (x +1) +( y 15) =相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
8．设 ab=ln2, = 1.09, c = e0.3 ，则（ ）
A． abc<< B． acb<<
C． cab<< D． cba<<
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选
对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系
列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下
列结论正确的是（ ）
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
10．已知函数 f ( x) =Axsin( + ) A >0, ><< 0, 的部分图象如图所示，则（ ）
22
A． fx( ) 的最小正周期为
33
B．当 x , 时， fx( ) 的值域为 ,
44 22
C．将函数 fx( ) 的图象向右平移 个单位长度可得函数 gx( )= sin 2 x的图象
12
D．将函数 fx( ) 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
5
,0 对称
6
11．如图，在棱长为1的正方体 ABCD A111 B C D 1中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点
P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是（ ）
A．A1C平面
B．存在点P，使得AC1平面
5
C．存在点P，使得点A1到平面 的距离为
3
D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射
出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
2
Cy:2= x，O 为坐标原点，一束平行于 x 轴的光线l1 从点 Pm( ,2) 射入，经过 C 上的点 Ax( 11, y) 反射
后，再经过C 上另一点 Bx( 22, y) 反射后，沿直线l2 射出，经过点Q ，则（）
1 1
A． xx = B．延长 AO 交直线 x = 于点 D ，则 D ， B ，Q 三
12 4 2
点共线
13 9
C． AB = D．若 PB 平分ABQ ，则 m =
4 4
三．填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．给定条件： fx( ) 是奇函数； fxyfxfy( ) = ( ) ( ).写出同时满足的一个函数 fx( ) 的解析
式： .
2
14．已知 (ax+ 2)( x )5 的展开式中的常数项为240，则 a = ．
x
15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王
3
燕获胜的概率为 ，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为
4
16.四棱锥 P ABCD 各顶点都在球心O 为的球面上，且 PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，
PA= AD =2, AB = 2 2 ，设 MN, 分别是 PD, CD 的中点，则平面 AMN 截球O 所得截面的面积
为 .
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11
17.（本小题满分10分）已知数列{an }满足 a1 =1，且点 ( ,)在直线 yx= +1上
aann+1
(1)求数列{an }的通项公式；
数列 前 n 项和为 ，求能使 对 * 恒成立的 （ ）的最小值
(2) {}aann+1 Tn Tmn<3 12 nN m mZ .
18.（本小题满分12分）在锐角 ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 c=2 b cos Ab．
（1）求证： AB= 2 ；
（2）若 A 的角平分线交BC于 D ，且c = 2 ，求ABD 面积的取值范围．
19.（本小题满分12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接
受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司
2023年前5个月的带货金额：
月份 x 1 2 3 4 5
带货金额 y /万元 350 440 580 700 880
（1）计算变量 x ， y 的相关系数 r （结果精确到0.01）．
（2）求变量 x ， y 之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 25 30
男性 10
总计
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
5 2 5 2
= =
参考数据： y = 590， ( xxi ) 10 ， ( yyi ) 176400 ，
i=1 i=1
5
=
( xii xy)( y) 1320 ， 441000 664 ．
i=1
n n
x xy y
( ii)( ) ( xii xy)( y)
r = i=1 i=1
参考公式：相关系数 ，线性回归方程的斜率b = n ，截距
nn22 2
( xxii) ( yy) ( xxi )
ii=11= i=1
a = y bx ．
2
n( ad bc)
附： K 2 = ，其中 nabcd=+++ ．
(abcdacbd++)( )( ++)( )
2
PK( k0 ) 0.15 0.10 0.05 0.025
k0 2.072 2.706 3.841 5.024
20.（本小题满分12分）如图，三棱柱 ABC A111 B C 的底面是等边三角形， AB= AA1 = 6 ， =ABB1 60 ，
D，E，F分别为 BB1 ， CC1 ， BC 的中点.
（1）在线段 AA1 上找一点G ，使 FG// 平面 A1 DE ，并说明理由；
（2）若平面 AA11 B B 平面 ABC ，求平面 A1 DE 与平面 ABC 所成二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）已知直线 xy+ +=10与抛物线C:2 x2 = py( p >0) 相切于点A，动直线l 与抛物
线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A.
（1）求抛物线C的方程及点A的坐标；
（2）当点A到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.
22（本小题满分12分）已知函数 f( x) =( x1) ln( x 2) ax( 3) ， a R .
（1）若 a =1，讨论 fx( ) 的单调性；
（2）若当 x >3时， fx( ) >0 恒成立，求 a 的取值范围.