数学试卷
本试卷共4页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
z 2 i i 的
1. 若复数 z 满足 ，则 z 在复平面内对应 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若b x ax2 4x 1 0a,b R ，则 a b 等于（ ）
9 9 1 8 8 1
A. B. 或 C. D. 或
2 2 4 5 5 4
x2 y2
3. 直线 5x 3y 0 是双曲线 1(a 0) 的一条渐近线，则 a （ ）
a2 25
A. 9 B. 5 C. 4 D. 3
4. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图 1 所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正
四棱台，若棱台的高为 3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
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图 1 图 2
148
A. cm3 B. 74cm3 C. 148cm3 D. 298cm3
3
5. 某校高三年级有 500 人，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N 110,100 ．估计该校高三年级本次考
试学生数学成绩在 120 分以上的有（ ）
参考数据：若 X ~ N , 2 ，则 P( X ) 0.6827, P( 2 X 2 ) 0.9545 ，
P( 3 X 3 ) 0.9973．
A. 75 人 B. 77 人 C. 79 人 D. 81 人
6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：
如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.
同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 7.2.因太
阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走 100 个视距段，从亚历山大城到赛伊尼
须走 50 天．一般认为一个视距段等于 157 米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A. 37680 千米 B. 39250 千米 C. 41200 千米 D. 42192 千米
7. 已知 a log2 6,b log3 7,c log5 9 ，则下列判断正确的 是（ ）
A. c b a B. b c a C. a b c D. a c b
8. 已知定义在 R 上的函数 f (x) ex1 e1x x ，则不等式 f (x 1) f (2 2x) 2 的解集为（ ）
A. (,1] B. (,1] C. [1,1] D. [1,)
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 某校 1500 名学生参加数学竞赛，随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方
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图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中 a 的值为 0.005 B. 估计这 40 名学生的竞赛成绩的第 60 百分位数为
75
C. 估计这 40 名学生的竞赛成绩的众数为 80 D. 估计总体中成绩落在60,70 内的学生人数为 225
10. 如图，点 A，B，C，M，N 是正方体的 顶点或所在棱的中点，则满足 MN平面 ABC 的有（ ）
A. B.
C. D.
x y 2
11. 直线 x y 2 0 分别与 轴， 轴交于 A, B 两点，点 P 在曲线 C : y x 2 2x 上，则ABP
的面积可能是（ ）
A. 2 B. 2 C. 5 D. 9
n1 *
12. 已知数列an 满足 an1 1 an1 3n 4 （ n 2 且 n N ），则下列说法正确的是（ ）
A. a2 a4 5 ，且 a3 a1 2
B. 若数列an 的前 16 项和为 540，则 a1 6
* 2
C. 数列an 的前 4k k N 项中的所有偶数项之和为 6k k
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n 13n 1
D. 当 n 是奇数时， a a
n2 4 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知点 F 是抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点， O 为坐标原点，若以 F 为圆心，| FO |为半径的圆与
直线 3x y 6 0 相切，则抛物线 C 的方程为_______．
14. 已知定义在[2m 1,m 4] 上的奇函数 f (x) ，当 x 0 时， f (x) 3x 1，则 f (m) 的值为
_____________．
2 b
15. 已知 a,b 是非零向量， a 1， a b a ， a 在 b 方向上的投影向量为 ，则| a b |
2 b
_____________．
16. 定义在 ,0 0, 上的奇函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且当 x 0, 时，
2 2 2
f (x) tan x f (x) 0 ，则不等式 f (x) 2 f sin x 的解集为_____________．
6
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
17. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为 ．
2
（1）求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；
（2）若该同学进行三次投篮，第一次投中得 1 分，第二次投中得 1 分，第三次投中得 2 分，记 X 为三次
总得分，求 X 的分布列及数学期望．
18. 在单位圆上的三点 A，B，C 构成的锐角 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a,b,c,sin2c sin2 A ( 2sinC sinB)sinB ．
（1）求 a；
（2）求 2b c 的取值范围．
*
19. 设各项均不为零的 数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2 ，且 2 Sn an an1 n N ．
（1）求数列an 的通项公式；
n
9
（2）令 ，当 b 最大时，求 n 的值．
bn an n
10
20. 如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点 D，E 分别为棱 A1B1、CC1 的中点，
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AE A1B1, AB AC AA1 4 ．
B1F
（1）设过 A，D，E 三点的平面交 B1C1 于 F，求 的值；
FC1
（2）设 H 在线段 BC 上，当 DH 的长度最小时，求点 H 到平面 ADE 的距离．
21. 已知二元关系 f (x, y) (2x y)2 (x 2y)2 ay2 b ，曲线 E : f (x, y) 0 ，曲线 E 过点
C(2,0), D(4,6) ，直线 l : x 1，若 Q 为 l 上的动点，A，B 为 E 与 x 轴的交点，且点 A 在点 B 的左侧，
QA 与 E 的另一个交点为 M ,QB 与 E 的另一个交点为 N．
（1）求 a，b；
（2）求证：直线 MN 过定点．
22. 已知函数 f (x) a(ln x)2 2x ln x 2x b,a 0 ．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若1 a e2 ,2a b 0 ，证明： f (x) 只有一个零点．
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昆明市第一中学 2024 届高中新课标高三第四次一轮复习检测
数学试卷
本试卷共4页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
z 2 i i
1. 若复数 z 满足 ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
1 2
【分析】本题可根据复数的除法法则得出 z i ，即可得出结果.
5 5
【详解】因为 z 2 i i ，
i i2 i 1 2
所以 z i ，
2 i 2 i2 i 5 5
1 2
则 z 对应的点为 , ，在第三象限，
5 5
故选：C.
2. 若b x ax2 4x 1 0a,b R ，则 a b 等于（ ）
9 9 1 8 8 1
A. B. 或 C. D. 或
2 2 4 5 5 4
【答案】B
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【解析】
【分析】由题意可知 ax2 4x 1 0 只有一个实数根，讨论 a 0 和 a 0 ，由根的判别式可得答案.
2
【详解】b x ax 4x 1 0a,b R ， ax2 4x 1 0 只有一个实数根.
1 1
当 a 0 时，b ，此时 a b ；
4 4
1
当 a 0 时， 16 4a 0 ，所以 a 4 ，此时 b .
2
1 9 1 9
a b 4 .故 a b 或 a b .
2 2 4 2
故选：B.
x2 y2
3. 直线 5x 3y 0 是双曲线 1(a 0) 的一条渐近线，则 a （ ）
a2 25
A. 9 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的一条渐近线，列方程求 a 的值.
x2 y2
【详解】直线 5x 3y 0 是双曲线 1(a 0) 的一条渐近线，
a2 25
5 5 5
由直线 5x 3y 0 的斜率为 ，得 ，所以 a 3 .
3 a 3
故选：D．
4. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图 1 所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正
四棱台，若棱台的高为 3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
图 1 图 2
148
A. cm3 B. 74cm3 C. 148cm3 D. 298cm3
3
【答案】C
【解析】
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【分析】根据棱台的体积公式，计算求值，即得答案.
1
【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为 3 82 62 82 62 148cm3 ．
3
故选：C．
5. 某校高三年级有 500 人，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N 110,100 ．估计该校高三年级本次考
试学生数学成绩在 120 分以上的有（ ）
参考数据：若 X ~ N , 2 ，则 P( X ) 0.6827, P( 2 X 2 ) 0.9545 ，
P( 3 X 3 ) 0.9973．
A. 75 人 B. 77 人 C. 79 人 D. 81 人
【答案】C
【解析】
1 P(110 10 X 110 10)
【分析】 X N 110,100 ， P(X 120) ，由概率计算人数即可.
2
【详解】 X N 110,100 ， 110 ， 10 ，
因为 P X =0.6827 ，
1 P(110 10 X 110 10) 1 0.6827
所以 P(X 120) 0.1586 ，
2 2
所以数学成绩在120 分以上的人数约为 5000.1586 79 人.
故选：C．
6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：
如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.
同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 7.2.因太
阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走 100 个视距段，从亚历山大城到赛伊尼
须走 50 天．一般认为一个视距段等于 157 米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
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A. 37680 千米 B. 39250 千米 C. 41200 千米 D. 42192 千米
【答案】B
【解析】
【分析】首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.
【详解】由亚历山大城到赛伊尼走10050 5000 ，则地球大圆周长的视距段为 x ，
7.2 5000
则 ，得 x 250000 个视距段，
360 x
则地球的周长为 250000157 39250000 米 39250 千米.
故选：B
7. 已知 a log2 6,b log3 7,c log5 9 ，则下列判断正确的是（ ）
A. c b a B. b c a C. a b c D. a c b
【答案】A
【解析】
3
【分析】取中间值 ,2 ，利用对数函数单调性比较可得.
2
【详解】因为 a log2 6 log2 4 2 ，
3
2 3
b log 7 log 3 ，且 b log3 7 log3 9 2 ，
3 3 2
3 3
c log 9 log 52 ，
5 5 2
所以 c b a .
故选：A .
8. 已知定义在 R 上的函数 f (x) ex1 e1x x ，则不等式 f (x 1) f (2 2x) 2 的解集为（ ）
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