2024届黑龙江省双鸭山市第一中学高三上学期第二次月考-数学试题+答案

2023-12-16·32页·2.3 M

双鸭山市第一中学2023—2024 学年度高三(上)学期数学第二次月

考试题本试卷

满分 150 分,考试时间 120分钟

一、单选题(本题共8 小题,每小题5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

2

1. 集合 A {1,3,5,7} , B {x | x 4x 0},则 A B

A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7}

a i

2. 若复数 , 为纯虚数则实数 a 的值为( )

1 i

A. i B. 0 C. 1 D. 1

2 5

3. 已知角 的终边过点 3,m ,若 cos ,则实数 m 的值为( )

2 5

A. 3 B. 4 C. 3 或 3 D. 4 或 4

0.3

1 1

4 已知 ,则( )

a log2 0.3,b ,c

. 2 5

A. a b c B. b

2 3

5. 已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ,侧面展开图的圆心角为 ,则该圆锥外接球的表面积为( )

3

A. 12 2 B. 24 C. 36 D. 48

6. 圣索菲亚教堂(英语:SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省,是一座始建于 1907 年拜占

庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球

圆柱棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美,小明同学为了估算索菲亚教

堂的高度,在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB,高为 30 3 30m, 在它们之间的地面上的点

M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A 教堂顶 C 的仰角分别是 15和 60,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角

6 2

为 30,则小明估算索菲亚教堂的高度为( ).(sin15 )

4

第1页/共7页

A. 30 m B. 60 m C. 30 3m D. 60 3m

n(n1)

7. 已知数列{an}满足 2 , Sn 是其前 n 项和,若 S2017 1007 b ,且 a1b 0 ,则

an an1 (1) n

1 2

的最小值为( )

a1 b

A. 3 2 2 B. 3 C. 2 2 D. 3 2 2

1 3

8. 已知函数 f x mx, g x 3lnx 2e x e ,若 f x 与 g x 的图像上分别存在点 M , N ,使

e

得 M , N 关于直线 y e 对称,则实数 m 的取值范围是( )

9 3 9

, ,

A 2 B. 2

. e e e

9 3

,3e ,3e

C. 2 D.

e e

二、多选题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分)

9. 已知 m 2sin x, 3sin x,n sin x,2cos x ,函数 f x mn 1,则下列结论正确的是( )

A. 函数 f x 的初相是

6

B. x 是函数 f x 图象的一条对称轴

4

5

C. ,0 是函数 f x 图象的对称中心

12

D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后关于 y 轴对称

6

10. 如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 P,Q 分别在线段 C1D, AC 上,则( )

第2页/共7页

A. 异面直线 D C 和 BC 所成的角为

1 1 4

2 3

B. 点 A 到平面 BC1D 的距离为

3

PQ

C. 若 P,Q 分别为线段 C1D, AC 的中点,则 平面 ABC1D1

2 3

D. 线段 PQ 长度的最小值为

3

11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状,把

数分成许多类,如下图中第一行图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑

色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列an ,正方形数构成数列bn ,则下

列说法正确的是( )

1 1 1 1 n

A.

a1 a2 a3 an n 1

B. 1225 是三角形数,不是正方形数

1 1 1 1 33

C.

b1 b2 b3 bn 20

* *

D. m N ,m 2,总存在 p,q N ,使得 bm ap aq 成立

x2 y2

12. (多选)双曲线 C: 1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过右焦点 F2 且斜率为 k

a2 b2

的直线交右支于 P,Q 两点,以 F1Q 为直径的圆过点 P,则()

第3页/共7页

A. 若PF1Q 的内切圆与 PF1 相切于 M,则 F1Ma

x2 y2

B. 若双曲线 C的方程为 1,则PF1Q 的面积为 24

4 6

C. 存在离心率为 5 的双曲线满足条件

10

D. 若 3PF2QF2,则双曲线 C 的离心率为

2

三、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 从某校高中 3 个年级按分层抽样抽取了 100 人作为调研样本,其中有 80 人来自高一和高二,若知高一

和高二总人数共计 900 人,则高三学生的总人数为______.

14. 已知 f (x) 为奇函数,当 x 0 时, f (x) 2ln x x2 ,则曲线 y f (x) 在点 1, f 1 处的切线方程

是___________.

5 2 2

15. 已知 , ,且 sin ,则 cos cos ____________.

12 6 12 5 3

x+2

x 0

16. 已知 a 为常数,函数 f x= x+1 ,若关于 x 的方程 f x ax 2 有且只有四个不同的解,

lnx (x>0)

则实数 a 的取值所构成的集合为______.

四、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,17 题 10 分,其他每题 12 分,解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17. 某学校 1000 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,抽取其中 50 个样本,将测

试结果按如下方式分成五组:第一组13,14 ,第二组14,15 ,…第五组17,18 ,右图是按上述分组方

法得到的频率分布直方图.

第4页/共7页

(1)请估计学校 1000 名学生中,成绩在第二组和第三组的人数;

(2)请根据频率分布直方图,求样本数据的平均数和中位数(所有结果均保留两位小数).

2 2 2

18. 在锐角 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a c b bc .

(1)求角 A 的大小;

(2)若 a 2 3 ,求 ABC 的周长 L 的最大值.

19. 如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形,平面 PBC 平面 ABCD , ACD 30 , E 为

AD 的中点,点 F 在 PA 上, AP 3AF .

(1)证明: PC 平面 BEF ;

(2)若 PDC PDB ,且 PD 与平面 ABCD 所成的角为 45,求二面角 A EF B 的余弦值.

n 2

20. 数列a 满足 a 2a 3a na 4 , n N .

n 1 2 3 n 2n1

(1)求 a3 的值;

(2)求数列an 通项公式 an ;

1

(3)设 bn log2 a1 log2 a2 log2 an , cn ,求数列cn 的前 n 项和.

bn1

x2 y2 1

21. 设椭圆 C : 1(a b 0)的离心率为 e ,椭圆 C 上一点 P 到左右两个焦点 F1 、

a2 b2 2

F2 的距离之和是 4.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,且两点与左右顶点不重合,若 F1M F1 A F1B ,求四

边形 AMBF1 面积的最大值.

x

22. 已知函数 f (x) .

ex1

(1)求函数 f x 的极值,

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(2)对任意实数 x 0 , f (x) (x a)ln x 1恒成立,求正实数 a 的取值范围.

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双鸭山市第一中学 2023—2024 学年度高三(上)学期数学第二次月

考试题本试卷

满分 150 分,考试时间 120分钟

一、单选题(本题共8 小题,每小题5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

2

1. 集合 A {1,3,5,7} , B {x | x 4x 0},则 A B

A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式得到集合 B ,结合交集定义进行求解即可.

【详解】 B {x | x2 4x 0} {x | x2 4x 0} {x | 0 x 4},

则 A B {1,3},故选B.

【点睛】本题主要考查集合的基本运算,求出集合B 的等价条件,首先要看清楚它的研究对象,是实数还

是点的坐标还是其它的一些元素,第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求

得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调

性的影响,在求交集时注意区间端点的取舍.

a i

2. 若复数 , 为纯虚数则实数 a 的值为( )

1 i

A. i B. 0 C. 1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】由题意首先设出纯虚数,然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.

a i

【详解】不妨设 ki k R ,则: a i ki 1 i ki ki2 k ki ,

1 i

a k a 1

由复数相等的充分必要条件可得: ,即 ,

1 k k 1

即实数 a 的值为 1.

故选:C.

2 5

3. 已知角 的终边过点 3,m ,若 cos ,则实数 m 的值为( )

2 5

第1页/共 25页

A. 3 B. 4 C. 3 或 3 D. 4 或 4

【答案】D

【解析】

【分析】先根据二倍角公式求出 cos ,再利用三角函数的定义可求答案.

2 5 2 3

【详解】因为 cos ,所以 cos 2cos 1 ,

2 5 2 5

所以 9 m2 5 ,解得 m 4 .

故选:D.

0.3

1 1

4. 已知 ,则( )

a log2 0.3,b ,c

2 5

A. a b c B. b

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件,利用指数函数、对数函数单调性,借助“媒介”数比较作答.

【详解】函数 y log2 x 在 (0,) 上单调递增, 0 0.3 1,则 a log2 0.3 log2 1 0 ,

1 x 1 0.3 1 5 2.5 1

函数 y ( ) 在 R 上单调递减, 0.3 1, b ( ) ,而 0 c ,

2 2 2 5 5 2

所以 a c b .

故选:D

2 3

5. 已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ,侧面展开图的圆心角为 ,则该圆锥外接球的表面积为( )

3

A. 12 2 B. 24 C. 36 D. 48

【答案】C

【解析】

【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径 r 2 2 ,在 RtAOB 中,利用勾股

定理可构造关于圆锥外接球半径 R 的方程,解方程求得 R ,根据球的表面积公式即可求得结果.

2 r 2 3

【详解】设圆锥 SO 的底面半径为 r ,由题意得: ,解得: r 2 2 .

2 6 3

如图, SA是圆锥的一条母线,由圆锥的性质知其外接球的球心 B 在 SO 上,连接 OA , AB ,

第2页/共 25页

设圆锥的外接球的半径为 R ,则 AB SB R ,

2 2

则 OS SA2 OA2 2 6 2 2 24 8 4 ,

2 2

AB2 OA2 OS SB ,即 R2 2 2 4 R2 ,解得: R 3 ,

圆锥的外接球的表面积为 4 32 36 .

故选:C.

6. 圣索菲亚教堂(英语:SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省,是一座始建于 1907 年拜占

庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球

圆柱棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美,小明同学为了估算索菲亚教

堂的高度,在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB,高为 30 3 30m, 在它们之间的地面上的点

M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A 教堂顶 C 的仰角分别是 15和 60,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角

6 2

为 30,则小明估算索菲亚教堂的高度为( ).(sin15 )

4

m m

A. 30 B. 60 C. 30 3m D. 60 3m

【答案】D

【解析】

AM sin15

【分析】在 ACM 中,利用正弦定理,得 CM ,再结合锐角三角函数的定义,求得 AM ,

sin 30

CD ,得解.

【详解】由题意知, CAM 45 , AMC 180 15 60 105 ,

第3页/共 25页

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