双鸭山市第一中学2023—2024 学年度高三（上）学期数学第二次月
考试题本试卷
满分 150 分，考试时间 120分钟
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
2
1. 集合 A {1,3,5,7} ， B {x | x 4x 0}，则 A B
A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7}
a i
2. 若复数 , 为纯虚数则实数 a 的值为( )
1 i
A. i B. 0 C. 1 D. 1
2 5
3. 已知角 的终边过点 3,m ，若 cos ，则实数 m 的值为（ ）
2 5
A. 3 B. 4 C. 3 或 3 D. 4 或 4
0.3
1 1
4 已知 ，则（ ）
a log2 0.3,b ,c
. 2 5
A. a b c B. b 2 3 5. 已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ，侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥外接球的表面积为（ ） 3 A. 12 2 B. 24 C. 36 D. 48 6. 圣索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占 庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球 圆柱棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教 堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为 30 3 30m, 在它们之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得楼顶 A 教堂顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角 6 2 为 30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）.(sin15 ) 4 第1页/共7页 A. 30 m B. 60 m C. 30 3m D. 60 3m n(n1) 7. 已知数列{an}满足 2 ， Sn 是其前 n 项和，若 S2017 1007 b ，且 a1b 0 ，则 an an1 (1) n 1 2 的最小值为（ ） a1 b A. 3 2 2 B. 3 C. 2 2 D. 3 2 2 1 3 8. 已知函数 f x mx, g x 3lnx 2e x e ，若 f x 与 g x 的图像上分别存在点 M , N ，使 e 得 M , N 关于直线 y e 对称，则实数 m 的取值范围是（ ） 9 3 9 , , A 2 B. 2 . e e e 9 3 ,3e ,3e C. 2 D. e e 二、多选题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 已知 m 2sin x, 3sin x,n sin x,2cos x ，函数 f x mn 1，则下列结论正确的是（ ） A. 函数 f x 的初相是 6 B. x 是函数 f x 图象的一条对称轴 4 5 C. ,0 是函数 f x 图象的对称中心 12 D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后关于 y 轴对称 6 10. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，动点 P,Q 分别在线段 C1D, AC 上，则（ ） 第2页/共7页 A. 异面直线 D C 和 BC 所成的角为 1 1 4 2 3 B. 点 A 到平面 BC1D 的距离为 3 PQ C. 若 P,Q 分别为线段 C1D, AC 的中点，则 平面 ABC1D1 2 3 D. 线段 PQ 长度的最小值为 3 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把 数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑 色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an ，正方形数构成数列bn ，则下 列说法正确的是（ ） 1 1 1 1 n A. a1 a2 a3 an n 1 B. 1225 是三角形数，不是正方形数 1 1 1 1 33 C. b1 b2 b3 bn 20 * * D. m N ,m 2，总存在 p,q N ，使得 bm ap aq 成立 x2 y2 12. （多选）双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点 F2 且斜率为 k a2 b2 的直线交右支于 P，Q 两点，以 F1Q 为直径的圆过点 P，则（） 第3页/共7页 A. 若PF1Q 的内切圆与 PF1 相切于 M，则 F1Ma x2 y2 B. 若双曲线 C的方程为 1，则PF1Q 的面积为 24 4 6 C. 存在离心率为 5 的双曲线满足条件 10 D. 若 3PF2QF2，则双曲线 C 的离心率为 2 三、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 从某校高中 3 个年级按分层抽样抽取了 100 人作为调研样本，其中有 80 人来自高一和高二，若知高一 和高二总人数共计 900 人，则高三学生的总人数为______. 14. 已知 f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f (x) 2ln x x2 ，则曲线 y f (x) 在点 1, f 1 处的切线方程 是___________. 5 2 2 15. 已知 , ，且 sin ，则 cos cos ____________． 12 6 12 5 3 x+2 x 0 16. 已知 a 为常数，函数 f x= x+1 ，若关于 x 的方程 f x ax 2 有且只有四个不同的解， lnx (x>0) 则实数 a 的取值所构成的集合为______． 四、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分，17 题 10 分，其他每题 12 分，解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17. 某学校 1000 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，抽取其中 50 个样本，将测 试结果按如下方式分成五组：第一组13,14 ，第二组14,15 ，…第五组17,18 ，右图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图． 第4页/共7页 （1）请估计学校 1000 名学生中，成绩在第二组和第三组的人数； （2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）． 2 2 2 18. 在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a c b bc . （1）求角 A 的大小； （2）若 a 2 3 ，求 ABC 的周长 L 的最大值. 19. 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形，平面 PBC 平面 ABCD ， ACD 30 ， E 为 AD 的中点，点 F 在 PA 上， AP 3AF . （1）证明： PC 平面 BEF ； （2）若 PDC PDB ，且 PD 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 A EF B 的余弦值. n 2 20. 数列a 满足 a 2a 3a na 4 , n N . n 1 2 3 n 2n1 （1）求 a3 的值； （2）求数列an 通项公式 an ； 1 （3）设 bn log2 a1 log2 a2 log2 an ， cn ，求数列cn 的前 n 项和. bn1 x2 y2 1 21. 设椭圆 C ： 1（a b 0）的离心率为 e ，椭圆 C 上一点 P 到左右两个焦点 F1 、 a2 b2 2 F2 的距离之和是 4. （1）求椭圆的方程； （2）已知过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，且两点与左右顶点不重合，若 F1M F1 A F1B ，求四 边形 AMBF1 面积的最大值. x 22. 已知函数 f (x) ． ex1 （1）求函数 f x 的极值， 第5页/共7页 （2）对任意实数 x 0 ， f (x) (x a)ln x 1恒成立，求正实数 a 的取值范围． 第6页/共7页 第7页/共7页 双鸭山市第一中学 2023—2024 学年度高三（上）学期数学第二次月 考试题本试卷 满分 150 分，考试时间 120分钟 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 2 1. 集合 A {1,3,5,7} ， B {x | x 4x 0}，则 A B A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7} 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合 B ，结合交集定义进行求解即可． 【详解】 B {x | x2 4x 0} {x | x2 4x 0} {x | 0 x 4}， 则 A B {1，3}，故选B． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B 的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还 是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求 得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调 性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍. a i 2. 若复数 , 为纯虚数则实数 a 的值为( ) 1 i A. i B. 0 C. 1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. a i 【详解】不妨设 ki k R ，则： a i ki 1 i ki ki2 k ki ， 1 i a k a 1 由复数相等的充分必要条件可得： ，即 ， 1 k k 1 即实数 a 的值为 1. 故选：C. 2 5 3. 已知角 的终边过点 3,m ，若 cos ，则实数 m 的值为（ ） 2 5 第1页/共 25页 A. 3 B. 4 C. 3 或 3 D. 4 或 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二倍角公式求出 cos ，再利用三角函数的定义可求答案. 2 5 2 3 【详解】因为 cos ，所以 cos 2cos 1 ， 2 5 2 5 所以 9 m2 5 ，解得 m 4 ． 故选：D． 0.3 1 1 4. 已知 ，则（ ） a log2 0.3,b ,c 2 5 A. a b c B. b 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较作答. 【详解】函数 y log2 x 在 (0,) 上单调递增， 0 0.3 1，则 a log2 0.3 log2 1 0 ， 1 x 1 0.3 1 5 2.5 1 函数 y ( ) 在 R 上单调递减， 0.3 1， b ( ) ，而 0 c ， 2 2 2 5 5 2 所以 a c b . 故选：D 2 3 5. 已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ，侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥外接球的表面积为（ ） 3 A. 12 2 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径 r 2 2 ，在 RtAOB 中，利用勾股 定理可构造关于圆锥外接球半径 R 的方程，解方程求得 R ，根据球的表面积公式即可求得结果. 2 r 2 3 【详解】设圆锥 SO 的底面半径为 r ，由题意得： ，解得： r 2 2 . 2 6 3 如图， SA是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心 B 在 SO 上，连接 OA ， AB ， 第2页/共 25页 设圆锥的外接球的半径为 R ，则 AB SB R ， 2 2 则 OS SA2 OA2 2 6 2 2 24 8 4 ， 2 2 AB2 OA2 OS SB ，即 R2 2 2 4 R2 ，解得： R 3 ， 圆锥的外接球的表面积为 4 32 36 . 故选：C. 6. 圣索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占 庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球 圆柱棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教 堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为 30 3 30m, 在它们之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得楼顶 A 教堂顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角 6 2 为 30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）.(sin15 ) 4 m m A. 30 B. 60 C. 30 3m D. 60 3m 【答案】D 【解析】 AM sin15 【分析】在 ACM 中，利用正弦定理，得 CM ，再结合锐角三角函数的定义，求得 AM ， sin 30 CD ，得解． 【详解】由题意知， CAM 45 ， AMC 180 15 60 105 ， 第3页/共 25页