数学试题
满分：150 分 时间：120 分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
A x x2 8 x 15 0 B x ax 1 0
1. 设集合 ，集合 ，若 BA ，则实数 a 取值集合的真子集的
个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
2. 已知复数 z 满足 (1 2i)z 3 2i ，则 z 的虚部为（ ）
8 8 1 1
A B. C. D.
. 5 5 5 5
n
2
3. 若 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
x 2
x
A. 90 B. -90 C. 180 D. -180
4. 向量 a b 1， c 3 且 a b c 0 ，则 cosa c , b c （ ）
13 13 4 4
A. B. C. D.
14 14 5 5
5. 在《九章算术 商功》中将正四面形棱台体 ( 棱台的上、下底面均为正方形 ) 称为方亭．在方亭
ABCD A1 B 1 C 1 D 1 中， AB2 A1 B 1 2 ，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为 3 3 ，则该方亭的体
积为（ ）
7 7 7 7
A. B. C. 2 D. 2
2 6 2 6
5
6. 在数列an 中， a1 1，且函数 f x x an1 sin x 2 an 3 x 3 的导函数有唯一零点，则 a9 的值
为（ ）．
A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024
7. 已知点 P 是圆 M: ( x 2)2 ( y 2)2 2 上的动点，线段 AB 是圆 C: ( x 1)2 ( y 1)2 4 的一条动弦，
且|AB | 2 3 ，则|PA PB |的最大值是（ ）
A. 3 2 B. 8 2 C. 5 2 D. 8 2 2
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8. 已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 为等腰直角三角形，其顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，体积为
24，若该三棱锥的外接球 O 的半径为 5，则满足上述条件的顶点 P 的轨迹长度为（ ）
A. 6 B. 30
C. 9 2 21 D. 6 2 21
二、多选题（本题共 4 小题，共 20 分，每题选项全对给 5 分，少选或漏选给 2 分，错选、多
选和不选给 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在回归分析中，相关指数 r 越小，说明回归效果越好
B. 已知 P( 2 3.841) 0.05 ，若根据 22 列联表得到 2 的观测值为 4.1，则有 95%的把握认为两个分
类变量有关
C. 已知由一组样本数据 xi, y i （ i 1，2，，n）得到的回归直线方程为 y4 x 20 ，且
1 n
xi 10 ，则这组样本数据中一定有 10,60
n i1
D. 若随机变量 XN~ ,4 ，则不论 取何值， PX4 6 为定值
10. 若函数 f x sin x cos x 的图象关于直线 x 对称，则（ ）
2 6
A.
3
2
B. 点 ,0 是曲线 y f x 的一个对称中心
3
C. 直线 x 也是一条对称轴
3
D. 函数 f x 在区间 , 上单调
3 12
2
11. 已知 Sn 是数列an 的前 n 项和，且 Sn1 S n n ，则下列选项中正确的是（ ）.
A. an a n1 2 n 1（ n 2 ）
B. an2 a n 2
C. 若 a1 0 ，则 S100 4950
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1 1
D. 若数列an 单调递增，则 a1 的取值范围是 ,
4 3
12. 若正实数 a， b 满足 a b ，且 lna ln b 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A. logb 0 B. a b
a b a
C. 2ab1 2 a b D. ab1 b a 1
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 若直线 l1 ： x ay 9 0 与 l2 ： a2 x 3 y 3 a 0 平行，则 l1 ， l2 间的距离是______．
sin 2 1 tan
14. 已知锐角 ， 满足 ，则 cos __________.
cos 2 1 1 tan
15. 第 19 届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲
莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有 6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸
宸”各 2 个，将这 6 个吉祥物排成前后两排，每排 3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共
有__________.（用数字作答）
1
16. 在锐角 ABC 中， cos A ，若点 P 为 ABC 的外心，且 AP xAB y AC ，则 x y 的最大值为
4
___________.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
17. ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 acosB 2 b cos A b c ．
（1）求 tan A ；
（2）若 a 17 ， ABC 的面积为 2 2 ，求 ABC 的周长．
18. 已知点 AB4,4 , 0,3 ，圆 C 的半径为 1.
（1）若圆 C 的圆心坐标为 C 3,2 ，过点 A 作圆 C 的切线，求此切线的方程；
（2）若圆 C 的圆心 C 在直线 l: y x 1上，且圆 C 上存在点 M ，使 MB 2 MO ， O 为坐标原点，求
圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
an 3
19. 已知数列an 中， a1 1， Sn 是数列an 的前 n 项和，且 .
Sn n 2
（1）求数列an 的通项公式：
1 2 n
（2）证明： 3
SSS1 2 n .
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20. 已知直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中，侧面 AA1 B 1 B 为正方形， AB BC 2 ，E，F 分别为 AC 和 CC1 的
中点，D 为棱 AB1 1 上的点． BF A1 B 1
（1）证明： BF DE ；
（2）当 BD1 为何值时，面 BB1 C 1 C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小?
21. 在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个
正确，选择正确得 5 分，选择错误得 0 分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部
选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选择错误的得 0 分.
（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确
1
答案和随机猜测的概率都是 .问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项
2
选择题正确答案的概率；
（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题的 四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两
种方案：方案单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案多选：在有可能是正确答案的所有
选项组合（如 AB 、 BCD 等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数
学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.
x 1
22. 设函数 f x ax2 ，其中 a R .
ex
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 存在两个极值点，设极大值点为 x0, x 1 为 f x 的零点，求证： x0 x 1 ln2 .
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沈阳市第 120 中学 20232024 学年度上学期
高三年级第四次质量监测
数学试题
满分：150 分 时间：120 分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
A x x2 8 x 15 0 B x ax 1 0
1. 设集合 ，集合 ，若 BA ，则实数 a 取值集合的真子集的
个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合 A ，然后分 a 0 和 a 0 两种情况由 BA 可求出 a 的值，从而可求出实数 a 取值集
合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由 x2 8 x 15 0 ，得 (x 3)( x 5) 0 ，解得 x 3 或 x 5 ，
所以 A 3,5 ，
当 a 0 时， B ，满足 BA ，
1 1 1 1 1
当 a 0 时， B ，因为 BA ，所以 3或 5，得 a 或 a ，
a a a 3 5
1 1
综上，实数 a 取值的集合为 0, , ，
3 5
所以实数 a 取值集合的真子集的个数为 23 1 7 ，
故选：C
2. 已知复数 z 满足 (1 2i)z 3 2i ，则 z 的虚部为（ ）
8 8 1 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】A
【解析】
1 8 1 8
【分析】根据复数的运算法则，求得 z i ，得到 z i ，结合复数的定义，即可求解.
5 5 5 5
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3 2i 3 2i 1 2i 1 8
【详解】由复数 (1 2i)z 3 2i ，可得 z i ，
12i 12i12i 55
1 8 8
所以 z i ，所以复数 z 的虚部为 .
5 5 5
故选：A.
n
2
3. 若 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
x 2
x
A. 90 B. -90 C. 180 D. -180
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知项数 n=10，再表示通项并令其中 x 的指数为零，求得指定项的系数即可.
n
2
【详解】解：因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数 n=10，即
x 2
x
2 10
，
x 2
x
r 10 5r
10r 2 r
则通项为T C r x 2 C r x 2 ，
r1 10 2 10
x
10 5r 2
令 0 r 2 ，则TC 2 2 180 .
2 3 10
故选：C.
4. 向量 a b 1， c 3 且 a b c 0 ，则 cosa c , b c （ ）
13 13 4 4
A. B. C. D.
14 14 5 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.
2 2 2 1
【详解】由已知可得 c a b c a b2 a b a b ，
2
又 a c 2 a b , b c 2 b a ，
2 2
2a b a 2 b 2a 5 a b 2 b 13
所以 cosa c , b c .
2 2 2 2
4a 4 a b b 4 b 4 a b a 7 7 14
故选：A
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5. 在《九章算术 商功》中将正四面形棱台体 ( 棱台的上、下底面均为正方形 ) 称为方亭．在方亭
ABCD A1 B 1 C 1 D 1 中， AB2 A1 B 1 2 ，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为 3 3 ，则该方亭的体
积为（ ）
7 7 7 7
A. B. C. 2 D. 2
2 6 2 6
【答案】D
【解析】
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到 AA1 的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱
台的体积计算公式求解即可．
【详解】如图，过 A1 作 A1 E AB ，垂足为 E ，
3 3
由四个侧面的面积之和为 3 3 知，侧面 ABB1 A 1 的面积为 ，
4
1 3 3 3
()AB A B A E （梯形的面积公式），则 AE ．
2 1 1 1 4 1 2
1 1 12 3
由题意得： AE() AB A B ，在 中， 2 2 2 ．
1 1 Rt AA1 E AA1 AE A1 E ( ) 1
2 2 2 2
连接 AC ， AC1 1 ，过 A1 作 A1 F AC ，垂足为 F ，
1 2
易知四边形 ACC1 A 1 为等腰梯形且 AC 2 2 ， AC 2 ，则 AF AC A1 C 1 ，
1 1 2 2
2
A F AA2 AF 2 ，
1 1 2
1 2 7
该方亭的体积V (12 2 2 1 2 2 2 ) 2 ，（棱台的体积公式）．
3 2 6
故选：D．
5
6. 在数列an 中， a1 1，且函数 f x x an1 sin x 2 an 3 x 3 的导函数有唯一零点，则 a9 的值
为（ ）．
A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024
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【答案】A
【解析】
【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断 f () x 为偶函数，根据有唯一零点知 f (0) 0 ，构造法有
an1 3 2( an 3) ，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.
4
【详解】由 f( x ) 5 x an1 cos x 2 an 3 在 R 上有唯一零点，
4 4
而 fx( ) 5( xa )n1 cos( xa ) 2n 3 5 xaxan1 cos 2n 3 fx ( ) ，
所以 f() x 为偶函数，则 f(0) an1 2 a n 3 0 ，故 an1 3 2( an 3) ，且 a1 3 4 ，
n1 n 1
所以{an 3}是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 an 3 4 2 2 ，
10
则 a9 2 3 1021 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：判断导函数 f () x 为偶函数，进而得到 f (0) 0 为关键.
7. 已知点 P 是圆 M: ( x 2)2 ( y 2)2 2 上的动点，线段 AB 是圆 C: ( x 1)2 ( y 1)2 4 的一条动弦，
且|AB | 2 3 ，则|PA PB |的最大值是（ ）
A. 3 2 B. 8 2 C. 5 2 D. 8 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】作出图象，过点 C 作 CD AB ，垂足为 D ，连接 CB ，则有|CD | 1，从而得点 D 的轨迹方程
2
为 (x 1) ( y 1) 1，由向量的加法法则可得 PA PB 2 PD ，根据圆与圆的位置关系求出|PD |max 即可
得答案.
【详解】解：圆 M: ( x 2)2 ( y 2)2 2 的圆心为 M 2,2 ，半径为 2 ，
圆 C: ( x 1)2 ( y 1)2 4 的圆心为 C 1, 1 ，半径为 2，
如图，过点 C 作 CD AB ，垂足为 D ，连接 CB ，
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D 为 AB 中点，即|BD | 3 ，
又|CB | 2 ，
|CD | CB2 BD 2 4 3 1，
点 D 的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，
点 D 的轨迹方程为 (x 1)2 ( y 1) 1，
D 是 AB 中点，
PA PB 2 PD ，
2 2
|PD |max CM 2 1 ( 1 2) ( 1 2) 2 1 4 2 1，
所以|PA PB |的最大值为 2(4 2 1) 8 2 2.
故选： D.
8. 已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 为等腰直角三角形，其顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，体积为
24，若该三棱锥的外接球 O 的半径为 5，则满足上述条件的顶点 P 的轨迹长度为（ ）
A. 6 B. 30
C. 9 2 21 D. 6 2 21
【答案】D
【解析】
【分析】利用三棱锥 P ABC 的体积，求解底边边长，求出 ABC 的外接圆半径，
以及球心 O 到底面 ABC 的距离，判断顶点 P 的轨迹是两个不同截面圆的圆周，
进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形 ABC 的边长为 x x 0 ，
1 1
三棱锥 P ABC 的体积V x2 3 24
3 2
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解得： x = 4 3
1
ABC 的外接圆半径为 r 2 4 3 2 6
1 2
球心 O 到底面 ABC 的距离为
2 2 ，
d1 R r1 25 24 1
又 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 3，
顶点 P 的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面 ABC 和截面圆之间时，
球心 O 到该截面圆的距离为 d2 3 1 2 ，
截面圆的半径为 2 2 ，
r2 R d2 25 4 21
顶点 P 的轨迹长度为 2r2 2 21 ；
当球心在底面 ABC 和截面圆同一侧时，
球心 O 到该截面圆的距离为 d3 3 1 4 ，
截面圆的半径为 2 2 ，
r3 R d3 25 16 3
顶点 P 的轨迹长度为 2r3 6 ；
综上所述，顶点 P的轨迹的总长度为 6 2 21
故选：D．
【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查
空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．
二、多选题（本题共 4 小题，共 20 分，每题选项全对给 5 分，少选或漏选给 2 分，错选、多
选和不选给 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在回归分析中，相关指数 r 越小，说明回归效果越好
B. 已知 P( 2 3.841) 0.05 ，若根据 22 列联表得到 2 的观测值为 4.1，则有 95%的把握认为两个分
类变量有关
C. 已知由一组样本数据 xi, y i （ i 1，2，，n）得到的回归直线方程为 y4 x 20 ，且
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