2023 年 12 月
文 科 数 学 试 题
命题人：刘群建 审题人：李盛锦
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若直线 x y 1 0 是圆 (x a)2 y 2 1的一条对称轴，则 a
1 1
A. B. C.1 D. 1
2 2
1 i
2.已知复数 z ，则 z z
2 2i
A. i B. i C.0 D.1
1
3.若抛物线 x y 2 （ p 0 ）的焦点到直线 y x 1的距离等于 2 ，则 p
2 p
A.1 B.4 C. 2 2 D.2
若 a ， ，则 a3b
4. 2 5 log8 3 b 4
25 5
A.25 B.5 C. D.
9 3
5.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一。书中有这样一道
1
题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较
7
小的两份之和，则最小 1 份为
5 10 5 11
A. B. C. D.
3 3 6 6
6.在菱形 ABCD 中，若 AC 2 ，则 CA AB
A．2 B． 2 C． AB cos A D．与菱形的边长有关
7.过点（0， 2 ）且与圆 x2 y 2 4x 1 0 相切的两条直线的夹角为 ，则 sin
15 10 6
A.1 B. C. D.
4 4 4
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x2 y 2
8.已知双曲线 C： 1 （ a 0 ， b 0 ）的离心率为 5 ，C 的一条渐近线与圆
a2 b2
(x 2)2 (y 3)2 1 交于 A、B 两点，则 AB
5 2 5 3 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
9.记函数 f (x) sin(x ) b （ 0 ）的最小正周期为 T，
4
2 3
若 T 且 y f (x) 的图像关于点（ ，2）中心对称，
3 2
则 f ( )
2
3 5
A.1 B. C. D.3
2 2
10.执行如图所示的程序框图,输出的结果是
5 4
A. B. C. 1 D.2
4 3
x2 y 2
11.椭圆 C： 1（ a b 0 ）的左顶点为 A，点 P、Q 均在 C 上且关于 y 轴对称。
a2 b2
1
若直线 AP，AQ 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为
4
3 2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
12.设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x 1) 为奇函数， f (x 2) 为偶函数，当 x [1,2] 时
9
f (x) ax2 b ，若 f (0) f (3) 6 ，则 f ( )
2
9 3 7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
x 2
13.过点(2， 2 )且与双曲线 y 1有相同渐近线的双曲线的方程是
2
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x y 0
14.若 x , y 满足约束条件 2x y 0 ，则 z 3x 2y 的最大值为
x 1
15.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由
一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行使
车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的
高度之差至少要有 0.5 米。若行车道总宽度 AB 为
6 米，则车辆通过隧道的限制高度是 米（精
确到 0.1 米）
16. 已知抛物线 C：x2 4y 的焦点为 F，直线 l 为：
x y 2 0 ，设点 P 为 l 上的一个动点，过点 P
作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，其中 A、B 为切点，则 AF BF 的最小值为
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 1721 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
1 2
已知数列 满足 ，且
17.（本小题满分为 12 分） an 1 a1 1.
an1 an
1
(1)证明：数列 1 为等比数列；
an
1
设 ，求数列 的前 项和
(2) bn 2n {bn} n Sn
an
18.（本小题满分为 12 分）
在平面直角坐标系 XOY 中,曲线 y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆 C 上.
(1)求圆 C 的方程;
(2)若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A,B 两点,且 OA OB , 求 a 的值。
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19. （本小题满分为 12 分）
已知函数 f( x ) cos2 x 3sin x cos x ( 0) 的最小正周期为 .
2
（1）求 f () 的值；
3
（2）已知 a,b,c 分别为 ABC 中角 A、B、C 的对边，且满足 a 3 ，f (A) 1，求 ABC
的周长 l 的最大值。
x2 y 2
20.（本小题满分为 12 分）已知长轴长为 2 2 的椭圆 C： 1( a b 0 )的左、
a2 b2
右焦点分别为 ，且以线段 为直径的圆与椭圆 恰有两个公共点．
F1，F2 F1F2 C
(1)求椭圆 C 的方程；
若经过点 的直线 与 交于 ， 两点，且 ， 关于原点 的对称点分别为 ， ，
(2) F2 l C M N M N O P Q
求四边形 MNPQ 的面积 S 的最大值．
21．（本小题满分为 12 分）已知函数 f (x) ln x ax2 x ( a 0 )．
(1)讨论函数 f (x) 的极值点的个数；
若函数 有两个极值点 ， ，证明：
(2) f (x) x1 x2 f (x1) f (x2 ) 3 2ln 2
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．(10 分)[选修 44：坐标系与参数方程]
1
已知直线 l 经过点 P( ,1) ，倾斜角 ，圆 C 的极坐标方程为 2 cos( )
2 6 4
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积．
23．(10 分)[选修 45：不等式选讲]
已知函数 f (x) tx 2 tx 1 ，tR.
(1)当 t 1时，解不等式 f(x)1；
(2)若对任意实数 t，f(x)的最大值恒为 m，
求证：对任意正数 a，b，c，当 abcm 时， a b c m
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