数学（理科）
命题人：朱晨蕊，审题人：陈燕春
时间：120 分钟 满分：150分
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分
第I 卷（选择题共60 分）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
5
1．复数 的共轭复数是（ ）
i 2
A． 2 i B． 2i C． 2i D． 2 i
2．已知集合 A x 0 x 2 ， B x 4x2 4x 15 0 ，则（ ）
A． x A， x B B．x B ， x A
C． x B ， x A D．x A ， x B
3．若 a,b 是夹角为 60 的两个单位向量， a b 与 3a 2b 垂直，则 （ ）
1 7 1 7
A． B． C． D．
4 8 8 4
x y 2 0
4．若 x ， y 满足约束条件 2x y 1 0 ，则 x2 (y 1)2 的最大值为（ ）
x 2
A．25 B．27 C．29 D．30
x x
5．函数 f (x) 4 1 2 sin x 的大致图象为（ ）
2
A． B．
C． D．
6．已知点 F(0,4) 是抛物线C : x2 2 py( p 0) 的焦点，点 P(2,3) ，且点 M 为抛物线C 上
任意一点，则| MF | | MP |的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4
1
7．已知 ax 的展开式中常数项为 24，则 a 的值为（ ）
x
A．1 B． 2 C．2 D． 2
8．七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排
法有（ ）
A．48种 B ．72种 C ．90种 D ．144种
9．已知函数 f (x) sin 2x a cos 2x ，将 f x 的图象向右平移 个单位长度后，得到 g x
6
的图象.若 g x 的图象关于直线 x 对称，则 f （ ）
4
3 3
A． B． C． 3 D． 3
3 3
10．已知圆 C : x2 y2 4x 4y 1 0 ， AB 是圆C 上的一条动弦，且 AB 4 2 ，O 为
坐标原点，则 OA OB 的最小值为（ ）
A． 4 2 2 B． 2 2 1 C． 2 2 D． 4 2
x2 y2
11．双曲线 C： 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线过点 P1, 3 ， F1 ， F2 是 C
a2 b2
5
的左右焦点，且 PF1 2 ，若双曲线上一点 M 满足 MF ，则 MF2 （ ）
1 2
1 9 9 1 7
A． 或 B． C． D．
2 2 2 2 2
12．若实数 a，b， c (0,1) ，且满足 ae0.8 0.8ea ， be1.2 1.2eb ， ce1.6 1.6ec ，则 a，b，
c 的大小关系是（ ）
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a
第II 卷（非选择题，共90 分）
二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分 .
13．函数 f (x) 2xex 的图象在 x 0 处的切线方程为 .
14．已知an 是各项均不相同的等差数列，bn 是公比为 q 的等比数列，且
q
a1 b1 a2 b2 a4 b4 ，则 ．
x2 y2
15．已知椭圆 C : 1(a b 0) 的右焦点与抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 重合，
a2 b2
且与该抛物线在第一象限交于点 M ，若 FM x 轴，则椭圆 C 的离心率为 ．
16．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识
别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离.设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则曼哈顿距离 d A, B x1 x2 y1 y2 ，余弦距离
e A, B 1 cos A, B ，其中 cos A, B cos OA,OB （O 为坐标原点）.已知点
M 2,1,d M , N 1，则eM, N 的最大值近似等于 .（保留 3 位小数）（参考数
据： 2 1.41, 5 2.24 .）
三、解答题:共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22 、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17．（本小题满分 12 分）
2
已知单调递增数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 an n 2Sn ．
(1)求an 的通项公式；
an
(2)记 log3bn an ，求数列 的前 n 项和Tn ．
bn
18．（本小题满分 12 分）
cosC 2cos A
在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， tan B ， a b ．
sin C
(1)求角 B；
(2)若 a 3 ，b 7 ，D 为 AC 边的中点，求BCD 的面积．
19．（本小题满分 12 分）
2023 年上海书展于 8 月 16 日至 22 日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了 50 名观众，
调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求 x 的值，并估计这 50 名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从20,40,80,100 这两组观众中随机抽取 6 名观众，再若从这 6
名观众中随机抽取 2 人参加抽奖活动，求所抽取的 2 人恰好都在80,100 这组的概率.
20．（本小题满分 12 分）
x2 y2
设椭圆 1a b 0 的左右顶点分别为 A1, A2 ，左右焦点 F1, F2 .已知 A1F2 3 ，
a2 b2
A2 F2 1.
(1)求椭圆方程.
(2)若斜率为 1 的直线l 交椭圆于 A，B 两点，与以 F1, F2 为直径的圆交于 C，D 两点.若
12 2
AB CD ，求直线l 的方程.
7
21．（本小题满分 12 分）
1
已知函数 f x a ln xa R ．
x
(1)当 a 4 时，求 f (x) 的零点个数；
1
(2)若 f (x 1) ex 1恒成立，求实数 a 的值．
x 1
（二）选考题：共10 分 .请考生在第22 、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题记分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
1
x 1 t
2
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以 O 为
3
y 2 t
2
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin ．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2)若曲线 C 和直线 l 相交于 M，N 两点，Q 为 MN 的中点，点 P(1,2) ，求| PQ |．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数 f x m x 2 ，mR，且 f x 2 0 的解集为[-1，1].
(1)求 m 的值；
1 1 1
(2)若 a,b,c 0, ，且 m ，求证： a 2b 3c 9 .
a 2b 3c
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