高三数学
本试卷分为问卷和答卷.考试时量 120 分钟，满分 150分.请将答案写在答题卡上.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的.
A x 1 x 2 B x x 0
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. x x 0 B. x x 1 C. x 0 x 2 D. x x 2
2 i
2. 已知 a R ，若复数 z a2 1 a 1i 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为
a i
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
r r
3. 若向量 a (m, 3),b (3,1) ，则“ m 1”是“向量 a,b 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设等差数列{an}的公差为d ，前 n 项和为 Sn ，若 a2 a7 a9 27 ，且 S8 S9 ，则 d （ ）
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
5. 已知某种垃圾的分解率为 v ，与时间 t （月）满足函数关系式 v abt （其中 a ， b 为非零常数），若经
过 12 个月，这种垃圾的分解率为 10%，经过 24 个月，这种垃圾的分解率为 20%，那么这种垃圾完全分
解，至少需要经过（ ）（参考数据： lg 2 0.3 ）
A. 48 个月 B. 52 个月 C. 64 个月 D. 120 个月
x
6. 已知函数 f (x) Asin x 的部分图象如图所示，其中 A>0, >0,<<0 .在已知 2 的条件
2 x1
下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
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A. B. C. D. A sin
7. 已知向量 a,b,c 满足 a b 1, c 2 ，且 a b c 0 ，则 cosa c,b c （ ）
4 2 2 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
8. 已知函数 f (x) emx ln x ，当 x 0 时， f (x) 0 恒成立，则 m 的取值范围为（ ）
m
1 1
A. (1,) B. (e,) C. , e D. ,
e e
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 关于函数 f (x) | sin 2x | | cos 2x |，下列结论正确的 是（ ）
A. f (x) 的最小正周期为 B. f (x) 的最大值为 2
4
C. f (x) 在[0, ] 上单调递减 D. x 是 f (x) 的一条对称轴
8 8
10. 设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，并满足 a1 1， a2023a2024 1，
(a2023 1)
0 ，下列结论正确的有（ ）
(a2024 1)
T2023
A. a2024a2022 1 B. 1
T2024
C. S2023 是数列{Sn} 中的最大项 D. T2023 是数列{Tn} 中的最大项
11. 已知过抛物线 T： y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 T 于 A，B 两点，交抛物线 T 的准线与
点 M， 3MA 2AF ，| AB | 32 ，则下列说法正确的有（ ）
MB 2 3
A. 直线 l 的倾斜角为 150 B.
FB 3
C. 点 F 到准线的 距离为 8 D. 抛物线 T 的方程为 y2 8x
12. 如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB / /CD, AB 2AD 2DC 2CB 4, E, F,G 分别为侧
棱 BB1, DD1, AA1 上一点， BE DF A1G 2 ，则（ ）
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A. BD GF
B. GEC 可能为
1 2
C. EGF 的最大值为
3
8
D. 当 AA 时， GE / / C F
1 3 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
8 2 3 8
13. 已知 ，则 a _____.
3x 5 a0 a1 x 2 a2 x 2 a3 x 2 a8 x 2 2
14. 某班派遣 A, B,C, D, E 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，
至多有两位同学去，且 A, B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有_________种.
15. 已知体积为 96 的四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 4 3 的正方形，底面 ABCD 的中心为O1 ，四棱锥
P ABCD 的外接球球心 O 到底面 ABCD 的距离为 2，则点 P 的轨迹的长度为_________.
2 x
16. 已知函数 f (x) 2x me 2 有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 3x2 ，则实数 m 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列an 满足 a1 5,an1 2an 2n 1
（1）令 bn an 2n 1，求证：数列bn 为等比数列；
（2）求数列an 的前 n 项和为Tn .
18. 如下图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D ， E 分别为 AB ， BB1 的中点，且 AA1 AC BC 2 ，
AB 2 2 .
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（1）求三棱锥的 E A1CD 体积；
（2）求直线 CE 与平面 A1CD 所成角 的余弦值.
19. 某公司有 A，B，C 型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳 800 元的保险
金，若在一年内出现事故每辆车可赔 8000 元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设 A, B,C 型三辆
1 1 1
车一年内发生事故的概率分别为 ， ， ，且每辆车是否发生事故相互独立.
10 11 12
（1）求该公司获赔的概率；
（2）设获赔金额为 X，求 X 的分布列和数学期望.
20. 在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边，若
p sinA sinC,sinB,q sinA sinC,sinB, p q sinAsinB
（1）求角 C；
CD
（2）若 AD 2DB ，求 的最大值.
DB
x2 y2
21. 如图，椭圆 C : 1a b 0 ，点 P2,1 在椭圆 C 上， B1, B2 为其上下顶点，且
a2 b2
B1P B2 P 2 ，过点 P 作两直线 l1 与 l2 分别交椭圆 C 于 A, B 两点，若直线 l1 与 l2 的斜率互为相反数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 AB 的最大值.
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1
22 已知函数 f x x a ln x .
. x
（1）若 f x 在0, 上为单调函数，求实数 a 的取值范围：
3 2 5 f x1 f x2
（2）若 a ，记 f x 的两个极值点为 x1 ， x2 ，记 的最大值与最小值分别为
2 2 x1 x2
M，m，求 M m 的值.
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2023 年下学期期中考试试卷
高三数学
本试卷分为问卷和答卷.考试时量 120 分钟，满分 150分.请将答案写在答题卡上.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的.
A x 1 x 2 B x x 0
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. x x 0 B. x x 1 C. x 0 x 2 D. x x 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的定义可求得集合 A B .
【详解】因为集合 A x 1 x 2， B x x 0 ，则 A B x x 1 .
故选：B.
2 i
2. 已知 a R ，若复数 z a2 1 a 1i 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为
a i
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知列式解出 a ，即可根据复数的运算得出答案.
2
【详解】 复数 z a 1 a 1i 是纯虚数，
a2 1 0 ，且 a 1 0 ，故 a 1，
2 i 2 i 2 i1 i 1 3
i .
a i 1 i 1 i1 i 2 2
2 i
故复数 在复平面内对应的点在第一象限，
a i
故选：A.
r r
3. 若向量 a (m, 3),b (3,1) ，则“ m 1”是“向量 a,b 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
r r r r
【分析】根据向量 a,b 的夹角为钝角求出 m 的范围，即可判断“ m 1”和“向量 a,b 的夹角为钝角”之间
的逻辑推理关系，即可得答案.
r r
【详解】向量 a (m, 3),b (3,1) ，由向量 a,b 的夹角为钝角，
a b 3m 3 0
即有 ，解得 m 1且 m - 9 ，
m1 (3)3
r r
即“ m 1”不能推出“ m 1且 m - 9 ”即“向量 a,b 的夹角为钝角”；
r r
“向量 a,b 的夹角为钝角”即“ m 1且 m - 9 ”能推出“ m 1”；
故“ m 1”是“ m 1且 m - 9 ”的必要不充分条件，
r r
即“ m 1”是“向量 a,b 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
4. 设等差数列{an}的公差为d ，前 n 项和为 Sn ，若 a2 a7 a9 27 ，且 S8 S9 ，则 d （ ）
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式与前 n 项和的定义，即可求出公差d 的值.
【详解】解：等差数列{an}中，
a2 a7 a9 (a1 d) (a1 6d) (a1 8d) 3(a1 5d) 3a6 27 ，
所以 a6 9 ；
又 S8 S9 ，所以 a9 0 ；
所以 a9 a6 3d 9 ，解得 d 3.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和的定义应用问题，是基础题.
5. 已知某种垃圾的分解率为 v ，与时间 t （月）满足函数关系式 v abt （其中 a ， b 为非零常数），若经
过 12 个月，这种垃圾的分解率为 10%，经过 24 个月，这种垃圾的分解率为 20%，那么这种垃圾完全分
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解，至少需要经过（ ）（参考数据： lg 2 0.3 ）
A. 48 个月 B. 52 个月 C. 64 个月 D. 120 个月
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.
1
ab12 0.1 a
【详解】由题意可得 ，解得 20 ，
24
ab 0.2 1
b 212
1 t
所以 v 212 ，
20
1 t
这种垃圾完全分解，即当 v 1时，有1 212 ，即 2t 2012 ，
20
12 1 lg 2
解得 t log 20 12log 20 24 12log 5 24 12 52 .
2 2 2 lg 2
故选：B
x
6. 已知函数 f (x) Asin x 的部分图象如图所示，其中 A>0, >0,<<0 .在已知 2 的条件
2 x1
下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A. B. C. D. A sin
【答案】B
【解析】
x
2
【分析】根据函数图象可知， x1, x2 是函数 f (x) 的两个零点，即可得 ，利用已知条件即可确定
x1
的值.
【详解】根据图象可知，函数 f (x) 的图象是由 y Asinx 向右平移 个单位得到的；
由图可知 f (x1) f (x2 ) 0 ，利用整体代换可得x1 0,x2 ，
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x x
所以 2 ，若 2 为已知，则可求得 x
1 2 .
x1 x1
x1
故选：B
7. 已知向量 a,b,c 满足 a b 1, c 2 ，且 a b c 0 ，则 cosa c,b c （ ）
4 2 2 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
r r r
【详解】因为 a b c 0 ,所以 a + b = - c ,
r
2 2 2 r
即 a b 2a b c ,即11 2a b 2 ,所以 a b 0 .
如图,设OA a,OB b,OC c ,
由题知, OA OB 1,OC 2,OAB 是等腰直角三角形,
2 2
AB 边上的高 OD , AD ,
2 2
2 3 2
所以 CD CO OD 2 ,
2 2
AD 1 3
tan ACD ,cosACD ,
CD 3 10
2
cosa c,b c cosACB cos 2ACD 2cos ACD 1
2
3 4
2 1 .
10 5
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