2023~2024 学年高三第四次联考（月考）试卷
理科数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．
写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．．．
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三解恒等变换、解三角形、平面
向量、数列、不等式（约 40%），立体几何、直线与圆（约 60%）．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若方程 x2 y2 6mx 4y 9m2 2m 0 表示圆，则 m 的取值范围为（）
A． 2, B．2, C． ,2 D． , 2
2．已知圆锥的表面积为 3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
3．已知直线 l ： mx 3y 3 0 ， l ： 3m 2 x my 1 0 ，则“ m ”是“ l l ”的（）
1 2 3 1 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之，祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出
“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间
的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这四个几何体的体积相
等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为 2．下底面边长为 4，高为 3 2 的正六棱台与一个不
规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）
A． 36 6 B． 42 6 C．108 6 D．126 6
．设圆 ： 2 2 和圆 ： 2 2 交于 ， 两点，则四边形 的面
5 C1 x 1 y 2 9 C2 x 1 y 1 4 A B C1 AC2 B
积为（）
A．12 B．12 13 C．6 D． 6 13
6．已知 l，m 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若 ， l ， m ，则 l m
B．若 m ， ，则 m//
C．若 l//m ， l ， m ，则 //
D．若 // ，且 l 与所成的角和 m 与所成的角相等，则 l//m
．若函数 是定义 在上的奇函数，且 是偶函数，当 时， ，则
7 f x R f x 1 0 x 1 f x log2 x 1
319
f （）
8
． ． ． ．
A 2log2 3 3 B 2log2 3 4 C 4 2log2 3 D 3 2log2 3
8．如图，正方形 ABCD 是圆柱的轴截面，点 E 在底面圆周上，且是 AB 的中点，则直线 AE 与 BD 所成角的
大小为（）
A． B． C． D．
6 4 3 2
9．在三棱锥 D ABC 中，点 E，F，G，H 分别在 AB，BC，CD，DA 上，且 EF //GH ，则下列说法中正确
的是（）
A．直线 EH 与 FG 一定平行 B．直线 EH 与 FG 一定相交
C．直线 EH 与 FG 可能异面 D．直线 EH 与 FG 一定共面
1 tan 48
10．设 a sin 2 48 ， b sin 42 ， c ，则 a，b，c 的大小关系为（）
cos 48 1 tan2 48
A． a b c B． a c b C． b c a D． c a b
．如图，在四棱柱 中，底面 是菱形，侧面 是正方形，且 ，
11 ABCD A1B1C1D1 ABCD A1 ADD1 A1 AB 120
， ， 与 交于点 ，则 （）
DAB 60 AB 2 C1D CD1 O BO
A． 5 B．3 C．5 D．9
12．已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，若 AP AB AC 且 AP 2 ，则 2 的最小值为（）
A． 2 3 B．4 C． 4 3 D．8
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知集合 A x a 2 x2 4x 1 0 ，若 A 的子集个数为 2 个，则 a 的值为______．
2 2
14．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A0,3 ，若圆 E： x 3 y m 9 上存在点 P 满足 PA 2 PO ，
则 m 的取值范围是______．
．如图，在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 是底面 内的一点（包含
15 4 ABCD A1B1C1D1 E BC P ABCD
边界），且 ，则线段 的长度的取值范围是 ．
B1P D1E B1P ______
第 15 题图
．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一点且
16 ABC A1B1C1 AA1 3 BC 6 AB AC 3 2 P A1B1
二面角 的正切值为 ，则三棱锥 的外接球的体积为 ．
A BC P 3 A A1C1P ______
第 16 题图
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， 是棱 上的一点，且 ．
ABC A1B1C1 AB BC D AC E BC BE 2CE
（ ）求证： 平面 ；
1 A1B// C1ED
（ ）求证： ．
2 C1D BD
第 17 题图
18（本小题满分 12 分）
B 1
在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a sin C a sin A 2a sin Acos 2 bsin A ．
2 2
（1）求角 A 的大小；
2
（2）若 a 2 3 ， sin B sin C ，求ABC 的周长
2
19．（本小随满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， BC//AD ， ABC 90，
AD 2PA 2BC 2 ，直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，E 是棱 PD 的中点．
（1）求证：平面 PAC 平面 PCD；
（2）求二面角 P CE A 的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
2a ,n 2k 1,k N*,
已知数列 a 满足 a 2 ，且 a n
n 1 n1 *
an 2,n 2k,k N .
（ ）若 ，证明：数列 是等比数列；
1 bn a2n1 2 bn
（ ）求数列 的前 项和 ．
2 an n Sn
21．（本小题满分 12 分）
如图 1，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点；O 为 DE 的中点，AB AC 2 5 ，BC 4 ，将ADE
沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，如图 ，点 是线段 上的一点（不包含端
DE A1DE A1DE BCED 2 F A1B
点）．
（ ）求证： ；
1 A1O BD
4
（2）若直线 EC 和平面 DEF 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 A DEF 的体积．
5 1
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f x x ln x a x2 1a R ．
（1）若 a 1，求函数 f x 的图象在 x 1 处的切线方程；
（2）若 f x 0 对任意的 x 1, 恒成立，求 a 的取值范围；
41 4 2 4n
（3）求证： ln 2n 1 ， n N* ，
412 1 4 22 1 4n2 1