数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，
在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
2
1．集合Axxx60,B2,3，则AB（）
A．B．2C．3D．2,3
2．已知aR，若2i1ai为纯虚数，则a（）
11
A．B．C．2D．2
22
2xa
3．“a1”是“函数fx为奇函数”的（）
2xa
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生
活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下
底面半径之比为3:2，丹线长为10cm，其母线与底面所成的角为60，则这个圆台的体积为（）
23753475037125395003
A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3
3333
5．已知函数fxAsinxA0,0,0，现有如下四个命题：
2
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
2
乙：该函数图象可以由ycos2x3sin2x的图象向右平移个单位长度得到：
4
丙：该函数在区间,上单调递增；
126
丁：该函数满足fxfx0．
33
如果只有一个假命题，那么该命题是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
x2023
6．已知奇涵数fx的图象关于直线x1对称，当x0,1时，fx2b，则f（）
2
A．12B．12C．21D．21
35
7．若cos，则sin2（）
656
712712
A．B．C．D．
25252525
8．已知函数fxx3ax2bxca,b,cR，若不等式fx0的解集为xxm1,且xm，则
函数fx的极小值是（）
144
A．B．0C．D．
4279
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为CC1,A1D1的中点，则（）
A．BMAD1B．AMBDC．B1M平面ABND．MN平面A1BD
10．设ab0,cR，则（）
bbc211
．．．22．22
AacbcB2CabDab2ab
aacab
．已知数列满足n*，则（）
11ana44,anan12nN
A．a11B．数列an为递增数列
111
．1013．
Ca1a2a202323D3
a1a2an
12．已知函数fxa2xx(a0,a1)，则下列结论中正确的是（）
A．函数fx恒有1个极值点
B．当ae时，曲线yfx恒在曲线ylnx2上方
1
C．若函数fx有2个零点，则1ae2e
D．若过点P0,t存在2条直线与曲线yfx相切，则0t1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a,1,b1,2，若a与b共线，则ab____________．
14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：fx____________．
fx1x2fx1fx2；xR,fx0．
15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气
中冷却，如果物体原来的温度是1，空气的温度是0，经过t分钟后物体的温度为满足
0.08t
010e．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65．现有一杯85的热水用来冲咖啡，
经测量室温为25，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保留
整数）（参考数据：ln20.7,ln31.1,ln112.4）
16．在平面四边形ABCD中，ABAD2,BCCD1,BCCD，将四边形沿BD折起，使AC3，
则四面体ABCD的外接球O的表面积为____________；若点E在线段BD上，且BD3BE，过点E作
球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
17．（10分）已知函数fx12sin2xsin2xcos4x．
2
（1）求fx的最大值及相应x的取值集合：
（2）设函数gxfx(0)，若gx在区间0,上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
2
3c
18．（12分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且tanAtanB．
acosB
（1）求角A：
（2）已知a7,D是边BC的中点，且ADAB，求AD的长．
aa1
19．（12分）已知数列a中，a1,n1n,nN*．
n1n1nnn1
（1）求数列an的通项公式；
n14n
（2）设bn(1)，求数列bn的前n项和Sn．
anan1
20．（12分）已知函数fxaxalnx．
（1）求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；
（2）证明：当a1时，fx0；
2n1
*1222
（3）设m为整数，若对于nN,1111m成立，求m的最小值．
23n
3333
21．（12分）如图，AB是半球O的直行，AB4,M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是半球面
上一点，且PON60．
（1）证明：PB平面PAM：
（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．
1lnx
22．（12分）已知函数fx．
x
（1）讨论fx的单调性；
（2）设a,b为两个不相等的实数，且aebbeaeaeb，证明：eaeb2．
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数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号12345678
答案BDAACBAC
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
题号9101112
答案BCBDACDBCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
52
13．14．ax(0a1)（答案不唯一）15．516．3,
23
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
1112
17．【解】（1）fxcos2xsin2xcos4xsin4xcos4xsin4x，
22224
12
当4x2k，即xk,kZ时，f(x)，
4228max2
1
此时，x的取值集合为xxk,kZ．
28
2
（2）gxsin4x(0)．
24
设u4x，因为x0,，所以u,2，
4244
因为gx在区间0,上有且仅有1个极值点，
2
3
所以2，
242
15
解得．
88
3c
18．【解】（1）因为tanAtanB，
acosB
sinAsinB3sinC
由正弦定理得，
cosAcosBsinAcosB
sinAcosBcosAsinBsinABsinC3sinC
所以，
cosAcosBcosAcosBcosAcosBsinAcosB
因为0C，所以sinC0,cosB0可知tanA3，
2
又因为0A，所以A．
3
（2）因为D是边BC的中点，所以SABDSACD，
11
故bADsincAD，故b2c．
262
2
由余弦定理得a2b2c22bccosb2c2bc7c2，故a7c，
3
因为a7，所以c7,b27．
ABAC
又因为AD，
2
2222
2ABAC2ABACcb2bccos120
平方得|AD|，
44
7281421
所以AD，
22
21
故AD的长为．
2
aa1
19．【解】（1）法一：因为n1n，
n1nnn1
aa11
所以n1n，
n1nnn1
a1a1
所以n1n，
n1n
a1
所以n是常数列，
n
a1a1
所以n12，
n1
所以an2n1．
aa1
法二：因为n1n
n1nnn1
所以nan1n1an1，
所以n1an2n2an11，
-，得n1an22n2an1n1an0，
所以an2an2an1，
所以an是等差数列，
aa1
由a1,n1n得a3，
1n1nnn12
所以等差数列an的公差da2a12，
所以an2n1．
4n4n11
（）n1n1n1．
2bn(1)(1)(1)
anan12n12n12n12n1
1111111
当为偶数时，
nSn1
3352n32n12n12n1
12n
1．
2n12n1
当n为奇数时，
111111112n2
．
Sn11
3352n32n12n12n12n12n1
2n2
,n为奇数,
2n12n1(1)n1
所以Sn（或Sn）
2n2n1
,n为偶数.
2n1
1
20．【解】（1）导函数fxa,f1a1，又f10，
x
所以曲线yfx在点1,f1处的切线方程为ya1x1，
即a1xya10．
（2）当a1时，fxx1lnx,x0．
1x1
fx1
xx
令fx0，解得x1．
列表如下：
x0,111,
fx-0+
fx极小值
所以当x1时，fx取最小值f10，
所以fx0．
（3）由（2）可知，lnxx1，当且仅当x1时，等号成立，
2n12n1
所以，
ln1nn
33
12222n1122n1
ln1ln1ln1ln1
23n2n
3333333
12n
1nn
332
11，
2n
13
3
12222n1
所以1111e．
23n
3333
12222n1122n12
当n4时，11111
23n2n
333333327
12n
1nn
23322
122．
2n1
271273
3
2n1
*1222
所以对于任意nN,1111m成立时，整数m的最小值为3．
23n
3333
21．【解】（1）连接OM,MN,BM，
因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有MONNOB60，又因为OMONOB2，
所以MON,NOB都为正三角形，
所以MNNBBOOM，
四边形OMNB是菱形，
记ON与BM的交点为Q，
Q为ON和BM的中点，
因为PON60,OPON，
所以三角形OPN为正三角形，
1
所以PQ3BM，所以PBPM，
2
因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PBPA，
因为PMPAP，所以PB平面PAM．
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，
由（1）知Q为ON的中点，OPN为正三角形，所以PQON，
所以PQ底面ABM，
因为四边形OMNB是菱形，所以MBON，
即MB、ON、PQ两两互相垂直，
以QM,QN,QP为正交基底建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
则O0,1,0,M3,0,0,B3,0,0,N0,1,0,A3,2,0,P0,0,3，
所以PM3,0,3,OP0,1,3，
设平面PAB的一个法向量为mx,y,z，
mOP0,y3z0,
则所以
mOB0,3xy0,
取x1，则m1,3,1
设直线PM与平面PAB的所成角为，
3310
所以sincosPM,m，
655
10
故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为．
5
22．【解】（1）fx的定义域为0,．
1lnxlnx
由fx得，fx，
xx2
当x1时，fx0；当x0,1时，fx0；当x1,时，fx0．
故fx的递增区间为0,1，递减区间为1,．
a1b1
（2）将aebbeaeaeb变形为．
eaeb
1lnm1lnn
令eam,ebn，则上式变为，
mn
即有fmfn，
于是命题转换为证明：mn2．
不妨设mn，由（1）知0m1,n1．
要证mn2，
即证n2m1，
由于fx在1,上单调递减，故即证fnf2m，
由于fmfn，故即证fmf2m，
即证fmf2m0在0m1上恒成立．
令gxfxf2x,x0,1，
lnxln2x(2x)2lnxx2ln2x
则gxfxf2x，
x2(2x)2x2(2x)2
44xx2lnxx2ln2x44xlnxx2ln2xx
0，
x2(2x)2x2(2x)2
所以gx在区间0,1内单调递增，
所以gxg10，即mn2成立．
所以eaeb2．