数学
命题人：黄启光审题人：李群丽
得分：
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150
分．
第卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1
1．已知复数z1i（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则的值为
z
21
A．1B．C．D．2
22
2．设全集UR，Axy2xx2，Byy2x,xR，则AB
U
A．xx0B．x0x1C．x1x2D．xx2
3．已知向量a，b满足ab7，a3，b4，则ab
A．5B．3C．2D．1
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数
都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723，
633，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是
1123
A．B．C．D．
4398
3
xa21
5．若函数fxxx1在区间,3上有极值点，则实数a的取值范围是
322
551010
A．2,B．2,C．2,D．2,
2233
ln32
6．已知alog2，b，c．则a，b，c的大小关系是
3ln43
A．abcB．acbC．cabD．bac
7．已知tantan3，sin2sinsin，则tan
3
A．6B．C．6D．4
2
x
8．已知函数fxx3x2sinx的零点分别为x，x，…，x，nN*），则x2x2x2
412n12n
11
A．B．C．0D．2
24
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X服从正态分布N100,102，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布
N,2，则P0.6827，P220.9545，
P330.9973）
A．EX100B．DX10
C．PX900.84135D．PX120PX90
10．下列说法正确的是
A．若不等式ax22xc0的解集为xx1或x2，则ac2
B．若命题p：x0,，x1lnx，则p的否定为：x0,，x1lnx
C．在ABC中，“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要条件
D．若mx23x2m0对m0,1恒成立，则实数x的取值范围为2,1
11．已知函数fxAsinx4（A0，0，0）的部分图象如图所示，若将函数
8
1
fx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得
46
函数gx的图象，则下列说法正确的是
1
A．函数fx的解析式为fx2sinxB．函数gx的解析式为gx2sin2x
266
4
C．函数fx图象的一条对称轴是xD．函数gx在区间,上单调递增
33
12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA平面ABC，PA8，ABAC，ABAC4，点D为AB的中
4
点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且PQ4，已知在弧度制下锐角，满足：cos，
5
25
cos，则下列结论正确的是
5
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为4B．过点D作球的截面，截面的面积最大为24
C．点Q的轨迹长为44D．点Q的轨迹长为48
第卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．
x2y2
14．已知F是双曲线1的左焦点，A1,4，P是双曲线右支上的一动点，则PFPA的最小值
412
为．
n
51n
15．若x的展开式中第4项是常数项，则7除以9的余数为．
x
2x1,x0,1
x1
2
16．已知函数fx的定义域为0,，且fxlog23x,x1,2，函数gxfx2在
2fx2,x2,
n
区间内的所有零点为（，，，…，）．若，则实数的取值范围是．
0,axii123nxi16a
i1
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
半径为R的圆内接ABC，AB3R，ACB为锐角．
（1）求ACB的大小；
（2若ACB的平分线交AB于点D，CD2，AD2DB，求ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
1n
已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．
anan12n1
（1）求数列an的通项公式；
an
（2）设bnan12，求数列bn的前n项和Tn．
19．（本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，CD2AB2EF4，M为DF
的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图所示的多面体．在图中，
图图
（1）证明：EFMC；
（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
2
已知函数fxlnx．
x
（1）讨论函数yfxx零点的个数；
（2）是否存在正实数k，使得fxkx恒成立．
21．（本小题满分12分）
1
某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上
3
2
两级的概率为，设他上到第n级的概率为P．
3n
（1）求他上到第10级的概率P10（结果用指数形式表示）；
（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
x2y22
已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，其左、右焦点分别为F，F，点P是坐标平面内
a2b2212
73
一点，且OP,PFPF（O为坐标原点）．
2124
（1）求椭圆C的方程；
1
（2过点S0,且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径
3
的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）
数学参考答案
一、二、选择题
题号123456789101112
答案BDDCCBAAACADABDABD
2．D
【解析】易知，，，故
Ax0x2Byy0UAxx0或x2UABxx2
．故选D．
3．D
【解析】由条件abab知a，b同向共线，所以abab1，故选D．
4．C
【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l
C182
的概率为8，故选．
p2C
C9369
5．C
2111
【解析】由题意f'xxax1在区间,3上有零点，ax，x,3，
2x2
10210
2a，又当a2时，f'xx10，fx单调，不符合，a2，2a，故
33
选C．
6．B
2222
【解析】clog33log39log38log2a，ca，又clog43log316
33333344
ln3
log327log3b，cb，acb．故选B．
44ln4
7．A
【解析】由条件知coscos0，sincoscossin2sinsin，两边同除以coscos
3tantan
得：tantan2tantan，tantan，从而tan6，故选A．
21tantan
8．A
1
【解析】由fx0xx2xsinx0，x0为其中一个零点，
4
1
x2
214
令gxxxsinx，g00，令gx0sinx，
4x
1sinx1
21
x2
4211111
1，xx，x0，x，所以fx）共有三个零点，0，，
x42222
1
x2x2x2，故选A．
12n2
9．AC
【解析】随机变量X服从正态分布N100,102，
正态曲线关于直线X100对称，且EX100，DX102100，从而A正确，B错误，
根据题意可得，P90X1100.6827，P80X1200.9545，
1
PX900.50.68270.84135，故C正确；
2
PX120与PX90不关于直线X100对称，故D错误．故选AC．
10．AD
【解析】对于A，不等式ax22xc0解集为xx1或x2，则方程ax22xc0的两根为1，
2
1
a
2，故，则a2，c4，所以ac2，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量
c
2
a
词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B不正确；对于C，
sinAcosAsinBcosB2sinAcosA2sinBcosBsin2Asin2B，又02A2B2，
所以AB或AB，显然不是充要条件，故C错误；对于D，令fmx22m3x，则
2
fm0，对m0,1恒成立，则
f03x0
，解得，故正确，故选．
22x1DAD
f1x3x20
11．ABD
T211
【解析】由图知，A2，，T4，得．故fx2sinx4．
422
1
点0,1在函数图象上，2sin41，即sin4．又0，04，4．
2826
1
故函数fx的解析式为fx2sinx，故A正确；
26
1
将fx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得y2sin2x的图象，再将所得
46
图象向右平移个单位长度，可得gx2sin2x2sin2x的图象，故B正确；
6666
当x时，f2sin00，不是最值，故直线x不是fx图象的一条对称轴，故C不正
333
确；
44
当x,时，2x2,2，则gx2sin2x在,还上单调递增，故
366263
D正确，故选ABD．
12．ABD
【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，
2R82424246，R26，
取BC的中点O1，O1为ABC的外接圆圆心，OO1平面ABC，如图．
2222
当OD截面时，截面的面积最小，ODOO1O1D4225，此时截面圆的半径为
rR2OD22，最小截面面积为r24，A对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为
R224，B对；由条件可得BPC，BPACPA，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，
4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，弧长为2448，D
对．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14
70
【解析】因为107为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．
100
14．9
x2y2
【解析】因为F是双曲线1的左焦点，所以F4,0，设其右焦点为H4,0，则由双曲线定义
412
22
得PFPA2aPHPA2aAH44104459．
15．1
rnr
nr1rr
【解析】由题知，r5r5，
Tr1Cnx1Cnx
x
n3
因第4项为常数项，所以当r3时，30，所以n18，
5
186
则71892，而2188691，1除9的余数为1，所以7n被9除余1．
16．7,9
x1x1
【解析】函数gxfx22的零点转化为yfx与y22的交点的横坐标，作出函数fx和
x1n
2（）的图象可知，，，，，…，若，则，所以实
y2x0x11x23x35x47xi16n4
i1
数a的取值范围为7,9．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．【解析】
AB3
（1）由正弦定理2RsinC，又角C为锐角，所以C．
sinC23
（2）CD为ACB的平分线，AD2DB，
b2a，
又SACDSBCDSABC，
11133
2bsin2asinabsin，则有aa2，
26262322
a3，
133
Sabsin．
ABC232
18．【解析】
（1）设数列an的公差为d，
11
令n1，得，所以a1a23．
a1a23
112
令n2，得，所以a2a315．
a1a2a2a35
解得a11，d2，所以an2n1．
2n1n
（2）由（1）知bn2n2n4，
12n
所以Tn1424n4，
23n1
所以4Tn1424n4，
12nn1
两式相减，得3Tn444n4
n
41413n4
n4n14n1．
1433
3n1443n14n1
所以T4n1．
n999
19．【解析】
（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，ABCD，
E，F分别为AB，CD的中点，
EFCD．
折叠后，EFDF，EFCF．
DFCFF，DF，CF平面DCF，
EF平面DCF．
又MC平面DCF，
EFMC．
（2）平面BEFC平面AEFD，平面BEFC平面AEFDEF，且平面DFEF，DF平面AEFD，
DF平面BEFC，又CF平面BEFC，
DFCF，
DF，CF，EF两两垂直．
以F为坐标原点，分别以FD，FC，EF所在直线为．x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
由题意知DMFM1．
M1,0,0，D2,0,0，A1,0,2，B0,1,2．
MA0,0,2，AB1,1,0，DA1,0,2．
设平面MAB，平面ABD的法向量分别为mx1,y1,z1，nx2,y2,z2，
MAm02z10
由得，
xy0
ABm011
取x11，则m1,1,0为平面MAB的一个法向量．
DAn0x22z20
由得，
xy0
ABn022
取x22，则n2,2,1为平面ABD的一个法向量．
mn2222
cosm,n，
mn233
22
平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
3
20．【解析】
2
17
x
1224
（1）设gxfxx，则g'x10，
xx2x2