高考数学第4讲 内切圆问题（解析版）

第4讲内切圆问题一、单选题1．（2020全国高三专题练习）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（1，2]D．（1，]【答案】D【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．【详解】设的内切圆的半径为，则，因为，所以,由双曲线的定义可知，所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．2．（2020宁夏银川市银川一中高三二模（文））已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是A．B．C．D．【答案】D【详解】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.3．（2020全国高三专题练习（理））已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.4．（2018浙江高三其他模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】不妨设点在第一象限，由双曲线的定义和勾股定理，得到，进而得到，结合双曲线的离心率的范围，即可求解.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于，，三点，则，，．又，所以，设，则，所以切点为双曲线的右顶点，所以，，在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因为，所以双曲线的离心率为.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程，以及离心率的计算，其中求解双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．5．（2020全国高三专题练习）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为A．1B．C．2D．【答案】D【详解】设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，边上的切点分别为易见横坐标相等，则由即得即，记的横坐标为，则，于是，得同理内心的横坐标也为则有轴，设直线的倾斜角为，则则故选D.6．（2020全国高二开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．【详解】解：记边、、上的切点分别为，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，，所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题．7．（2020江西赣州市高三月考（理））为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，得到三角形为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为，建立方程求解.【详解】如图所示：因为，所以三角形为直角三角形，故它的内切圆半径，所以故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．（2018广西贺州市高二期末（文））已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【详解】由双曲线的定义知，又轴，所以的内切圆半径为，由，得，故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的内切圆半径为，从而找出之间的关系，求出离心率．9．（2016湖南高三月考（理））如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为A．2B．4C．D．【答案】A【详解】试题分析：因为，且的内切圆半径为，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选A．考点：双曲线的定义及其简单的几何性质．10．（2020广东（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为A．B．2C．D．【答案】A【详解】由，内切圆半径为，离心率，故选A11．（2020湖北武汉市高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的右支上一点，点和分别是的重心和内心，且与轴平行，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】不妨设点，，，由题意，则点到直线、、的距离均为，点到的距离为，利用三角形面积公式可得，再由即可得解.【详解】不妨设点，，，则，，，由点是的重心，点即，又与轴平行，点是的内心，点到直线、、的距离均为，点到的距离为，，又，，，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题.12．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【答案】C【详解】由得，所以,由,因此,选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．（2020安徽安庆市高三三模（理））双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【分析】如图，设圆与三边的切点分别为，，，得到，故，计算得到答案.【详解】如图，设圆与三边的切点分别为，，，根据圆切线的性质和双曲线的定义，有.又，所以，所以，即点的横坐标为3，所以.因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、多选题14．（2021湖北荆门市高三月考）已知，为双曲线：的左右焦点，过点作渐近线的垂线交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则下列结论正确的有（）A．B．内切圆的半径为C．D．双曲线的离心率为【答案】ABD【分析】首先确定直线的方程，以及内切圆圆心的坐标，利用圆心到直线的距离确定内切圆的半径，以及求得直线的直线方程，判断AB选项，联立和的直线方程，求得点的坐标，代入双曲线方程，求离心率，并求得点的坐标，判断C.【详解】如图，直线为：，即，根据对称性可知在轴上，的内切圆的圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，点到直线的距离，故B正确；设直线，即，点到直线的距离，平方后化简得，解得：或，当时，直线与的交点的横坐标是0，不满足条件，故舍去，当时，直线，与直线垂直，即，故A正确；联立方程组，解得：，代入双曲线方程得，化简整理得：，故，故D正确；直线，当时，，即，，，所以，故C不正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用圆心到直线的距离求内切圆的半径，以及利用圆心到直线的距离求的直线方程，再一个关键求得点的坐标，代入双曲线方程，计算过程是关键.三、填空题15．（2019四川成都市树德中学高二期中（文））已知点是双曲线右支上一点,,分别是双曲线的左右焦点,为的内心,若,则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设出的内切圆的半径,利用三角形面积公式、双曲线的定义、离心率的公式可以求出双曲线的离心率的值.【详解】设的内切圆的半径为,.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的离心率公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.16．（2017全国）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是PF1F2的内心，且SIPF2SIPF1SIF1F2，则________.【答案】【解析】设PF1F2内切圆的半径为r，则由SIPF2SIPF1SIF1F2PF2rPF1rF1F2rPF1PF2F1F2，根据双曲线的标准方程知2a2c，.17．（2020银川市宁夏大学附属中学（理））已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2内切圆的半径为__________.【答案】【分析】根据题意，设ABF2内切圆的半径为r，三角形的周长为4a,进而求出三角形面积的表达式，再求出,求出ABF2的面积，进而求出内切圆的半径．【详解】根据题意,设ABF2内切圆的半径为r；椭圆的方程为，三角形的周长为20，故，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则,故，，解得，所以内切圆的半径为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的定义，运用面积相等即可求出内切圆的半径，属于基础题.18．（2021全国高三专题练习）已知F1F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左右焦点，过F2作倾斜角为60的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.【答案】【分析】连接交于点，由题意可得，即求.【详解】由内切圆的性质可知，的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，可知三点共线.连接交于点，如图：直线l的倾斜角为60，所以，，在与中，则，则为故答案为：19．（2018湖南益阳市高三月考（理））F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.【答案】【分析】设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．【详解】解：，．的外接圆半径为，的内切圆的半径为．设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，设，，则，不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，由可得，，，且，分别是，的角平分线，，又，，，化简可得，故，．故答案为：．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．20．（2021全国高三二模（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为___________.【答案】【分析】数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可.【详解】设圆与的三边的切点分别为，，，如图令，，，根据双曲线的定义可得可得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴.过圆心作的垂线，垂足为.易知直线的倾斜角与大小相等.不妨设，，则，，所以根据勾股定理，，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算.21．（2021全国高三专题练习（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，的离心率，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是_______________.（用只含有的式子表示）【答案】【分析】利用双曲线的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，根据题中条件，得到，以及的范围，即可得到所求范围．【详解】记边、、上的切点分别为、、，则，，，由双曲线的定义可得：，即，得，则，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.即、的内心、在直线上，则的右顶点为，直线的倾斜角为，因为的离心率，所以，则，所以，因为过的直线与双曲线的右支交于、两点，所以或或；则，且，在中，，，同理，在中，，，则，因为，所以，因此.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据双曲线的性质以及三角形内切圆的性质，得到、的横坐标都为，再结合直线与双曲线交点的位置以及双曲线的离心率确定直线的倾斜角的范围，即可求解.22．（2016河南许昌市高三三模（理））已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一点，点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M为PF1F2的内心，且SPMF1=SPMF2+SMF1F2，则的值为．【答案】24【解析】试题分析：设内切圆半径为R，由题意知SPMF1-SPMF2=SMF1F2，即12|PF1|R-12|PF2|R=12|F1F2|R，即122aR=122cR,e=ca=1.又因为e2=1+(ba)2，所以12=1+7=8,=24.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【思路点晴】本题是有关双曲线焦点三角形内切圆的问题.解决过程中主要靠两点，一点是紧紧围绕定义，双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，还有内心的概念，内切圆的半径就是三角形的高，在化简SPMF1-SPMF2=SMF1F2过程中，用三角形面积公式代入，再利用定义来求解.第二点是双曲线中c2=a2+b2这个隐含条件.23．（2020和县第二中学高二期中（文））已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且为的内心，若成立，则的值为___________．【答案】【解析】试题分析：设的内切圆的半径为，由双曲线的定义得，，由题意得，所以，因为，所以，所以，所以，即．考点：双曲线的定义及其简单的几何性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算与内切圆的性质，其中利用三角形的内切圆的性质，表示出的面积，利用关系式，求出的表达式是解答的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题．24．（2019长春市九台区第四中学高二期末（理））已知点为双曲线右支上的一点，分别为双曲线的左右焦点，为的内心，若成立，则的值为__________.【答案】【分析】根据为的内心及，可得，再由双曲线的定义得，两式联立求解.【详解】由为的内心及，得，即，又由双曲线的定义得，则，故.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.25．（2020全国高三专题练习）已知一簇双曲线En：x2y2（）2（nN*，且n2020），设双曲线En的左、右焦点分别为F、F，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnF的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+…a2020_____．【答案】【分析】根据圆的切线长定理及双曲线的定义可得，再根据,得，化简即可求出，利用数列求和即可求解.【详解】如图所示，设Pn，与圆Gn分别切于点Bn，．根据内切圆的性质可得：,又点Pn是双曲线En右支上一动点，，．．可得：an．可得：a1+a2+…a2020．故答案为：．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，圆的切线性质，等差数列求和公式，考查了推理运算能力，属于难题.26．（2020山东）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．【答案】【分析】如图所示：不妨取渐近线，易知，设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，得到，根据距离相等得到直线：，联立方程得到，代入双曲线方程，计算得到答案.【详解】如图所示：不妨取渐近线，易知，（否则不能与右支相交）.则直线为：，即，设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，到直线的距离为：，设直线：，即到直线的距离为：，化简整理得到，解得或，当时，直线与的交点横坐标为，不满足题意，舍去.故直线：，故，，联立方程得到，解得，代入双曲线方程得到：，化简整理得到：，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了双曲线中直线的位置关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.