高考数学第2讲 几何特征（解析版）

第2讲几何特征一．选择题（共20小题）1．（2017青岛三模）已知点是双曲线左支上一点，、是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是A．B．C．2D．【解答】解：在三角形中，点恰好平分线段，点恰好平分线段，，又的斜率为，，在三角形中，设．，根据双曲线的定义可知，，在直角三角形中，，，又，则，即，双曲线的离心率是，故选：．2．（2021沈阳二模二模）已知点、分别是双曲线的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为A．，B．，C．，D．，【解答】解：如图：由，可知，设，则，在中，，，，，，，故选：．3．（2017秋顺庆区校级期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，，将，，即，，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有，解得．故选：．4．（2020河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【解答】解：设，则，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在，中，由，即，得，即离心率，故选：．5．（2020淮北二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，且抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：不妨设、，由题意可知，抛物线的准线与重合，过点作准线于，如图所示，直线的倾斜角为，，即为等腰直角三角形，设，则，由双曲线的定义可知，，，在中，由余弦定理可知，，，化简得，结合可知，．故选：．6．（2017秋孝感期末）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．3【解答】解：由题意设，则，，，则，，直线与直线的交点恰好为线段的中点，可知，与共线，，，，可得，可得，所以．故选：．7．（2021春瑶海区月考）设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的两支分别交于点，，若点满足，，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【解答】解：如图：，，故，由双曲线的定义可得：，，则，，而，，，为等腰直角三角形，，，在中，，整理可得：，，双曲线的渐近线方程为：，故选：．8．（2020秋德州期末）设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【解答】解：由已知直线过点，则令，所以，所以，如图所示：过原点作垂直直线，垂足为，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以由直角三角形的性质可得，所以，又为的中点，所以是的中点，所以，而，所以，由双曲线的定义可得：，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，即，解得或（舍去），所以双曲线的离心率为，故选：．9．（2017尖山区校级四模）设双曲线的左右焦点分别为，，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【解答】解：由平行于轴得，则，所以，又，则，．由得，因此，代入椭圆方程得，即，则．故选：．10．（2017成都模拟）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【解答】解：如图所示，由题意可得，，，，，，点为双曲线左支的一个点，，，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，，，，故选：．11．（2019朝阳四模）已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：如图设在第一象限，，，，，将其代入，得，化简得：，，，，，．故选：．12．（2017四模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，代入，可得，，，，，，，，．故选：．13．（2019秋安徽期末）设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，连接，，可得，设，，由双曲线的定义可得，且，，则，，，即有，．故选：．14．（2020秋池州期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且满足，则的离心率的取值范围是A．B．C．D．【解答】解：由，得，，．故选：．15．（2020广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．2【解答】解：延长交与，由为的角平分线，，所以为的中点，，连接，则为的中位线，所以，而因为，而所以整理可得，即，解得或1，再由双曲线的离心率大于1，可得，故选：．16．（2020江西模拟）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左，右焦点分别为，，且，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．或【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，，可得，即有直线的斜率为，由直线与双曲线的一条渐近线交于点，可得，可得，即有，化为，由可得，解得或，由，可得，即，可得舍去．可得渐近线方为：，故选：．17．（2021嘉兴二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：设，，直线的方程为，以为直径的圆的方程为，由解得，，直线的方程为，与渐近线方程，解得，，由的面积是面积的2倍，可得到直线的距离为到直线的距离的2倍，即有，化为，即为，所以．故选：．18．已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，，，，，，，故选：．19．（2010秋宁波期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任意一点，过作的平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为A．B．C．D．【解答】解：点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，故，又是的中位线，故，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为故选：．20．（2019文登区三模）设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，则双曲线渐近线的斜率为A．B．C．D．【解答】解：过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，，可得，在中，由余弦定理可得设切点为，在中，．．，．双曲线渐近线的斜率为，故选：．二．填空题（共9小题）21．（2020肇庆三模）已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是．【解答】解：由题意，是直角三角形，的斜率为，设，，则，，，，，，，，．故答案为：．22．（2020天河区三模）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为，．【解答】解：，，根据三角形的性质可知，为直角三角形，则，，由双曲线的定义可得：，即，将代入得：，整理可得，配方可得，又，，则，结合得，则两边同时加上得：，即有，所以，解得，即．故答案为：，．23．（2020春安徽期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过点，且与双曲线在第二象限交于点，若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为、直线过点，可得，直线过点与双曲线在第二象限交于点，设，，所以，解得，，可得．故答案为：．24．（2020春成都期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在第一象限的双曲线上，且轴，内一点满足，且点在直线上，则双曲线的离心率为．【解答】解：点在第一象限的双曲线上，且轴，，，解得：．内一点满足，如图，取，，则有，故为的重心，，又，，，，，即，，即，综上，，，点在直线上，，，，，（负值舍去）则双曲线的离心率为，故答案为：．25．（2020济宁模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，由，，可得，由点坐标为且满足，可得，即，即，则，又，则，当且仅当，，三点共线时，上式取得等号．由题意可得，即，可得，综上可得，故答案为：，．26．（2020衡阳三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，，若，则该双曲线的离心率为．【解答】解：法1（代数法）：因为与相切，所以直线斜率，由对称性不妨考虑情形．又双曲线的渐近线方程为，则垂直其中一条渐近线，故与一渐近线的交点，即为该渐近线与在第二象限的交点，可得，如图，设中点为，由，即，则有，又，故，且为的中点，所以为的中点，则，三等分，由，得，由在另一渐近线上，即有，则，故离心率．法2（几何法）：设，则，由题意易知，，在中，，又，则有，即，故离心率．法3（参数方程法）：直线的参数方程为为参数），代入，可得对应的参数又对应的参数，由及与相切，可知，即，则，则有，故离心率．故答案为：．27．（20214月份模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为．【解答】解：焦点到渐近线的距离为，则，所以．故答案为：．28．（2021榆林模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点，若线段交双曲线于点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：设，，由，解得，，因为，为的中点，所以为的中点，所以，，将的坐标代入双曲线的方程，可得，化简可得，则．故答案为：．29．（2020深圳一模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点，为的渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且，则双曲线的离心率为．【解答】解：如图，由题意可得，直线与圆相切于点，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．