高考数学第5讲 离心率范围（解析版）

第5讲离心率范围一、单选题1．（2013甘肃张掖市高三月考（文））已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是A．(1,2]B．[2+)C．(1,3]D．[3，+)【答案】C【详解】试题分析：由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+|PF2|+4a+|PF2|8a，当且仅当=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号．设P（x0，y0）（x0-a），由焦半径公式得：|PF2|=-ex0-a=2a，又双曲线的离心率e1，e（1，3]，故选C．考点：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用．点评：中档题，本题综合性较强，是高考常见题型，关键是利用双曲线的定义，创造应用均值定理的条件并灵活运用焦半径公式．2．（2011江西高三月考（文））设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【详解】：|OF1|=|OF2|=|OP|F1PF2=90设|PF2|=t，则|F1P|=t，a=（t-t)/2，t2+3t2=4c2，则t=ce=c/a=+13．（2020四川遂宁市高三三模（理））已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，求出数量并利用双曲线的范围求出x2c2b2a2c2b2b2，再由双曲线可得a，b的关系，进而求出离心率的最小值．【详解】设P（x，y），则|x|a，所以，由题意可得F1（c，0），F2（c，0），所以（x+c，y）（xc，y）x2c2+y2x2c2+（1）b2x2c2b2a2c2b2b2，所以2a2b2，即2a2b2，所以离心率e，故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，解题时注意双曲线中点的坐标的取值范围，属于中档题．4．（2020福建高三其他模拟（理））已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义可得，则，又，即可得到不等式，即可解得；【详解】解：因为所以；，，在双曲线右支上，又由双曲线的定义，得，，即，由双曲线的几何性质，知，，即；，解得；又，双曲线离心率的范围是．故选：A．【点睛】本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，属于中档题．5．（2017云南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【详解】根据正弦定理可知，所以，而，即，所以，解得：，而，即，整理得：，解得，，又因为双曲线的，所以，故选A.【点睛】离心率的取值或是取值范围是高考常考题型，如果题设有比较明显的几何特征时，要注意几何关系求的取值或是取值范围，或是根据已知条件转化为关于的齐次方程求解，如果焦半径构成三角形时，经常利用三角形内两边之和大于第三边，或是焦半径的取值范围求解.6．（2020四川成都市双流中学高三月考（理））已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得，且为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．6B．5C．D．【答案】D【分析】将，整理可得，又为正三角形，可得P的坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系可得双曲线的离心率．【详解】如上图，因为，整理可得，又为正三角形，所以可得，而P又在双曲线上，所以，整理可得，所以可得．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的性质，及正三角形的性质，属于中档题．7．（2020全国高三专题练习）已知双曲线满足以下条件：双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.故选B．【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.8．（2019辽宁沈阳市高二期末（理））已知F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，+）B．（2，+）C．（1，1）D．（1，2）【答案】D【分析】点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,再列式求解不等式即可.【详解】由题得为通经,故,又点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,即故,又,故.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的问题,需要根据题意找出对应的不等式关系再求解即可.属于中等题型.9．（2019江西抚州市临川一中高二期中（理））设点P是双曲线-=1（a，b0）上异于实轴端点上的任意一点,F1，F2分别是其左右焦点,O为中心,,则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】A【分析】由余弦定理可得cosPOF1,．结合可得=2c．利用PF2-PF1=2a．即可求解．【详解】解：如图，cosPOF1……+可得…又…由可得=．PF2-PF1=2a．4a2=2c2-3c2=7a2，e==故选A．【点睛】本题考查了双曲线的离心率,考查了余弦定理及运算能力,考查了转化思想,属于中档题．10．（2020浙江高二期末）点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：根据题意设双曲线的左焦点为，则在中，点（为坐标原点）分别为的中点，所以，即在双曲线的左支上存在点使，同时即：解得：即且，所以，故答案为A.考点：1.三角形的中位线；2.双曲线的离心率.11．（2019全国高二专题练习（理））设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【分析】设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），联立方程：解得解得：故选B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12．（2019成都市实验外国语学校（西区）高二期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为A．或B．或3C．2或D．2或3【答案】D【分析】不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，，且有，，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限且，则，，过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，则，故，因为直角三角形，故可设，且，所以，解得或，若，则，；若，则，；综上，选D.【点睛】离心率的计算关键在于构建的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离.13．（2020全国高三专题练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【分析】设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，则，为双曲线上的点，则，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．14．（2020江西南昌市高三一模（文））已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．+l【答案】D【分析】假设已知直线的倾斜角为，根据直线的斜率为，可知，可得，然后根据，可得点坐标，最后代入双曲线方程化简并结合，可得结果.【详解】设已知直线的倾斜角为由题可知：，所以又，所以，即所以又，所以，又所以化简可得：，所以所以，又，所以故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点坐标，考验计算能力，属中档题.15．（2019江西南昌市南昌二中高二期末（文））直线与双曲线（a0，b0）的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若ABBF，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】联立，得xB，由F为右焦点，ABBF，得直线BF：y（xc），联立，得xB，从而，由此能求出该双曲线的离心率．【详解】直线与双曲线（a0，b0）的左支、右支分别交于A，B两点，联立，得xB，F为右焦点，ABBF，F（c，0），直线BF：y（xc），联立，得xB，，整理，得：，由e1，解得该双曲线的离心率e．故选B．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线、双曲线等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（2013浙江高三一模（理））如图，F1，F2是双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|3:4:5，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【答案】A【解析】试题分析：由题意设，则，即，所以，又有，则，即，所以双曲线的离心率为.考点：双曲线的定义及性质.17．（2020河南高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解【详解】如图，因为，所以.因为所以.在中，，即，得，则.在中，由得.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题二、多选题18．（2020福建泉州市高三月考（理））若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（）A．B．C．D．2【答案】AD【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，可得：，所以双曲线的离心率为：．当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，可得：，，所以双曲线的离心率为：．故选：AD．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.三、填空题19．（2020北京高三专题练习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使、、成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】【分析】根据、、成等比数列，得到，再根据点在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得到，因此可以用、表示或，最后根据双曲线右支上的点到焦点的距离的取值范围，即或，得到关于的不等式，进而求出的取值范围．【详解】令，，则由、、成等比数列，得．又，，所以，即，则，，根据，得．又由，得，，，所以．故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．（2021定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【详解】因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，,由双曲线的定义知，由双曲线的几何性质知所以解得又，故双曲线的离心率21．（2021全国高三专题练习（理））已知双曲线，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足，若，则E的离心率为_________.【答案】【分析】由题意设，即有，由双曲线定义及已知可得且，结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令，则且，由题意知：E的左准线为，结合双曲线第二定义知：，，又，，解得，知：，联立，得：，整理得，.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数，可得点的横坐标为；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于的齐次方程求离心率即可.22．（2019贵州省铜仁第一中学高二期末（理））已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tanPF1F2=，，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】设P（m，n），可得1，F1（c，0），F2（c，0），运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由b2c2a2，e，可得e的方程，解方程即可得到所求离心率．【详解】设P（m，n），可得1，F1（c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1，直线PF2的斜率k2，k22，k1，即为，2，解得mc，nc，则1，由b2c2a2，e可得9e225，化为9e450e2+250，即为e25（1舍去），可得e．故答案为．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．23．（2021全国高二课时练习）已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______【答案】【分析】设，先得的表达式，再由其最小值解出a，即可求出离心率.【详解】设，则，，，当时等号成立，的最小值是，，解得，又，，故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，向量的运算，离心率的求法，属于中档题.24．（2018安徽省舒城中学高三一模（文））已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】设点的横坐标为，在双曲线右支上（）根据双曲线的第二定义，可得故答案为.25．（2021全国高三专题练习（文））已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得，则双曲线的离心率的取值范围是_________.【答案】(1,3]【分析】依题意，双曲线左支上存在一点P使得8a，|PF1||PF2|2a，可求得，|PF1|2a，|PF2|4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．【详解】解：P为双曲线左支上一点，|PF1||PF2|2a，|PF2||PF1|+2a，又8a，由可得，|PF1|2a，|PF2|4a．|PF1|+|PF2||F1F2|，即2a+4a2c，3，又|PF1|+|F1F2||PF2|，2a+2c4a，1．由可得13．故答案为（1，3]．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|4a，|PF2|2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．26．（2020辽宁沈阳市高二期中）已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，ABE为等腰三角形．若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角．根据对称性，只要AEF<即可．直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|<|EF|就能使AEF<，即1，故10,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,,其中O为坐标原点,则该双曲线的离心率为________.【答案】【分析】由题意，OA垂直平分BF，设，运用点关于直线对称的特点，由中点祖彪公式和垂直的条件解得的值，代入双曲线的方程，化简整理，结合离心率的公式，即可求解.【详解】不妨设点B在第二象限.由题意知OA垂直平分线段BF，设F(c,0),B(m,n),则=-,且=,得m=,n=,代入双曲线的方程,可得-=1,又b2=c2-a2,化简并整理可得c2=5a2,该双曲线的离心率e==.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．29．（2018浙江温州市温州中学高二期末）如图，点F为双曲线C：1（a0，b0）的左焦点，直线ykx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点，且满足FAAB，O为坐标原点，ABFAFO，则双曲线C的离心率e_____．【答案】．【分析】设双曲线的另一个焦点为，则为平行四边形，由条件可得，然后由双曲线的定义可得，再在用勾股定理，进而求出离心率．【详解】如图，设双曲线的另一个焦点为，连接.根据双曲线的对称性可得，为平行四边形.由FAAB，在中,ABFAFO.，得.在中有，,得..由双曲线的定义有：在中：，即化简整理得:,两边同时除以化为：解得：.所以双曲线的离心率为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和对称性性质，属于中档题．30．（2020全国高三专题练习）已知F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且0，MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．【答案】【详解】，．设双曲线的左焦点为，连，则可得四边形矩形，，．设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，．SMNF|MF||NF|ab，，又在RtMNF中，|MF|2|NF|2|MN|2，即(|MF||NF|)22|MF||NF||MN|2，，即，整理得，．答案：31．（2020江苏苏州市南京师大苏州实验学校高三月考）已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cosF1MNcosF1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．【答案】2【分析】由可得，故得，所以，再根据双曲线的定义得到，．然后在和中运用余弦定理并结合可得的关系，进而可得离心率．【详解】如图，由可得，，，由双曲线的定义可得，，在中由余弦定理得在中由余弦定理得，，，整理得，，解得或（舍去）．双曲线的离心率等于2．故答案为2．【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．32．（2021福建厦门市厦门一中高二期末）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点．过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结并延长交双曲线C于点P．若，且，则该双曲线的离心率为________．【答案】【分析】设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，，，由对称性得四边形为平行四边形，进而在中，利用余弦定理得，在中，由余弦定理得，进而得答案.【详解】解：设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，所以，.由对称性可知，四边形为平行四边形，故.在中，由余弦定理得，解得.故，.在中，由余弦定理得，，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.