高考数学第7讲 椭双共焦点（解析版）

第7讲椭双共焦点一、单选题1．（2019甘肃兰州市兰州一中高三月考（文））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围.【详解】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得，，即，即，由可知，令，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.2．（2019重庆八中高二期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【分析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到答案．【详解】设，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定可得，解得，，由，可得，即，由，，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在递增，可得，．则，．故选：D.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，离心率，考查换元法和构造函数法求范围问题，属于中档题．3．（2021全国高三专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（）A．B．6C．8D．【答案】C【分析】由在上的投影等于可知PF1PF2，利用椭圆与双曲线的焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值.【详解】如图，设半焦距为．点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，PF1PF2．设，，则，．．在中，由勾股定理可得：.．两边同除以c2，得2，所以，当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8．故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：写表达式；消元；求值域.4．（2020四川广安市邻水实验学校高二月考（理））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:A．B．C．D．【答案】A【详解】由题得：设周长为当且仅当M、A、B共线时，周长的最小点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案5．（2018宜昌市夷陵中学高三一模（文））我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率A．B．C．D．【答案】C【分析】设F1（c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】设F1（c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得PF1+PF2=2a，PF1PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=am，由余弦定理可得F1F22=PF12+PF222PF1PF2cos60，即有4c2=（a+m）2+（am）2（a+m）（am）=a2+3m2，由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e244e22+3=0，解得e2=故选C．【考点】椭圆、双曲线定义，离心率【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．（2020全国高三专题练习（理））已知椭圆C1：+y2=1（m1）与双曲线C2：–y2=1（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21【答案】A【解析】试题分析：由题意知，即，由于m1，n0，可得mn，又=，故．故选A．【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误．7．（2019湖北（文））椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是A．B．C．D．【答案】C【分析】先设双曲线的右焦点为，由椭圆与双曲线的特征可知，A与B关于原点对称，可得，由，可得，再由椭圆与双曲线定义可得，从而可得，，由余弦定理可得，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设双曲线的右焦点为,由题意点A与点B关于原点对称，因此，又，所以；由椭圆与双曲线定义可得，所以，，根据余弦定理可得，即，化简得，所以离心率乘积为，当且仅当时，去等号;由，所以，所以，再将（1）（2）代入可得，所以双曲线的渐近线方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质，难度系数较大.8．（2018浙江全国高三课时练习）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，若F1PF2，则双曲线C2的渐近线方程为()A．xy0B．xy0C．xy0D．x2y0【答案】C【解析】设椭圆C1：1(a>b>0)，双曲线C2：1(m0，n0)，依题意c1c2c，且，则a3m.由圆锥曲线定义，得|PF1||PF2|2a，且|PF1||PF2|2m|PF1|4m，|PF2|2m.在F1PF2中，由余弦定理，得：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2|cos12m2，c23m2，则n2c2m22m2，因此双曲线C2的渐近线方程为yx，即xy0.故选C.点睛:本题考查椭圆和双曲线的定义以及性质,属于中档题.首先设出椭圆和双曲线的方程,根据椭圆和双曲线的离心率公式以及定义,求出a3m,|PF1|4m，|PF2|2m.在F1PF2中,利用余弦定理可求得c23m2,n2c2m22m2，根据双曲线的渐近线方程公式,即可求得答案.二、填空题9．（2020南通市天星湖中学高二月考）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.【答案】【分析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值．【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，，又，，可得，得，即，可得，则，当且仅当，上式取得等号，可得的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．（2017全国高三专题练习）设F1，F2分别为椭圆C1：(ab0)与双曲线C2：(a10，b10)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若椭圆C1的离心率e，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是________________．【答案】【解析】由已知得MF1MF22a，MF1MF22a1，所以MF1aa1，MF2aa1，又因为F1MF290，所以MFMF4c2，即(aa1)2(aa1)24c2，即a2a2c2，所以2，所以e，因为e[，]，所以e2，即，2，所以e，所以e1.11．（2020张家口市宣化第一中学高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为__________．【答案】【分析】设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义求得，由此可求得的最小值，得到答案.【详解】由题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，两式平方相加，可得又由，则，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的最值问题，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12．（2020江苏省苏州第十中学校高二月考）已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于_______．【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义可利用表示出和，在中，利用余弦定理构造等量关系，配凑求得所求式子的值.【详解】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：，，，，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形为平行四边形，，，，即，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查共焦点的椭圆和双曲线离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用椭圆和双曲线的定义，利用椭圆长半轴和实半轴表示出焦半径，从而利用余弦定理构造等量关系.13．（2019长沙市湖南师大附中高三二模（理））已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.【答案】【解析】由题意，不妨设P在第一象限，由双曲线的方程知|PF1||PF2|=4,c=2|PF2|=2,|PF1|=6，2a=|PF2|+|PF2|=8，a=4.椭圆与双曲线有相同的右焦点,c=2，椭圆C1的离心率为e==，故答案为.14．（2020辽宁沈阳市高三期末（理））中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.【答案】【分析】由于P为与在第一象限的交点，，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.【详解】设椭圆：与双曲线：，因为P为与在第一象限的交点，，所以焦点三角形是以为底边的等腰三角形，即在椭圆中有；同理，在双曲线中有，由可知，，因为，且，由不等式的性质可知，.故答案为：【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.15．（2020吉林白山市高三其他模拟（文））双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为，它们在第一象限的交点为，若，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】利用正弦定理求得，利用椭圆和双曲线的定义求得，进而由列方程，并转化为含有双曲线离心率的方程，由此求得双曲线的离心率.【详解】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，由正弦定理得.，，.，，，.又，，两边除以并化简得，.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（2019河南郑州市高二期末（文））设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，,若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的值为_______【答案】【分析】利用椭圆与双曲线的定义，列出方程组，求得，再由勾股定理，得出离心率的方程，即可求解.【详解】由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，因为，所以，即，即，又由，即有，因为，所以，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的简单的几何性质的应用，以及曲线的离心率的求解，求曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：利用定义求解；根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．17．（2020全国高二单元测试）设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.【答案】【分析】本题首先可根据题意绘出椭圆和双曲线图像，然后设、，结合椭圆定义和双曲线定义得出、，再然后根据得出，进而得出，最后根据即可求出离心率的取值范围.【详解】如图，绘出椭圆和双曲线图像：设，，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，因为，所以，即，由离心率的公式可得，因为，所以，即，解得，因为，所以，，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查离心率的相关计算，主要考查椭圆定义和双曲线定义的应用，椭圆中有，双曲线中有，离心率计算公式为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.18．（2020长沙市明德中学高二月考）椭圆与双曲线有相同的焦点，左右焦点分别为、，且在第一象限的交点为P，椭圆与双曲线离心率分别为，，若，，则________.（答案要填区间）【答案】【分析】设共同的焦点坐标与，运用椭圆与双曲线的定义，以及焦点三角形中的余弦定理公式构建，的关系，进而由已知的范围，求得答案.【详解】设公共焦点为，且由椭圆与双曲线的定义可知，解得在中，，由余弦定理可知则，即，整理有因为，有，即所以故答案为：【点睛】本题考查圆锥曲线中共焦点问题，还考查了求离心率的取值范围，属于较难题.19．（2021安徽六安市六安一中高二开学考试（文））已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】根据正弦定理，可得，根据椭圆与双曲线定义可求得，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得，进而求得双曲线的离心率．【详解】设焦距为2c在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得因为，代入可得，所以在椭圆中，在双曲线中，所以即所以因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即，即所以化简得，等号两边同时除以得，因为即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e，则上式可化为由一元二次方程求根公式可求得因为双曲线中所以【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．20．（2021湖北荆门市高三月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________．【答案】【分析】利用两曲线在第一象限的交点为P，得到；又，进而得到，转化为离心率的齐次式即得．【详解】由已知可得点，代入得出，即将代入得出，即．故．．又椭圆与双曲线有相同的焦点，故，故．即．故答案为：．21．（2020衡水第一中学高三期中（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【答案】【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2…，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2…，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,F1PF2=，则由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2…，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2…，，由柯西不等式得（1+）（）（）2故答案为【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．22．（2019福建三明市三明一中高二期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.【答案】【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，，，设，，则：在中由余弦定理得，，化简得：，即，又，，即，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．23．（2019山西省长治市第二中学校高二月考（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是__________．【答案】【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为，，由题意可得：，，，，，，，，.，，设，，，.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线和椭圆的定义及简单性质、离心率的问题，考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.24．（2019陕西渭南市高三月考（文））已知椭圆与双曲线有公共的左右焦点、，它们在第一象限交于点，其离心率分别为、，以、为直径的圆恰好过点，则_____.【答案】2【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合两个曲线有公共焦点列方程，化简后求得的值.【详解】椭圆与双曲线有公共的左右焦点、，由题意可知，以、为直径的圆恰好过点，又，，，，，，即.故答案为：.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查椭圆和双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．（2019福建师大附中高二期末（理））如图，在中，已知其内切圆与边相切于点，延长到，使，连接,设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为__．【答案】.【分析】设内切圆与，分别切于点，设，，利用椭圆、双曲线的定义分别求出的表达式，求出的最大值，并求出的值．【详解】设内切圆与，分别切于点，所以，，，，则，设，，根据圆的切线性质，可得，在中，，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由椭圆双曲线定义，，，，，，，令，则，当时，方程有解，满足条件，当时，则应满足，解得且，综上，，则可得当时，取得最大值为，此时取最大值，.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角形内切圆的相关内容，椭圆、双曲线的定义等，利用椭圆、双曲线的定义求出的表达式是解题关键，求最大值时利用了判别式法求值域.