高考数学第3讲 渐近线问题（解析版）

第3讲渐近线问题一、单选题1．（2012四川泸州市高三月考（理））已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A．(1,2)B．(1,2)C．D．(2,+)【答案】C【详解】解：解：已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b/a，b/a，离心率e2=，e2，故选C2．（2021山西省古县第一中学高二期末（文））已知双曲线与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足，结合，可得e的范围.【详解】解：如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线(，)与直线有交点，则有，，即，解得，得.双曲线离心率的取值范围为.故选：A【点晴】直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑.3．（2021全国高三专题练习（文））设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题设条件推导出，，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率．【详解】由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，右焦点，且，，，由，解得，，，平方化简得，又，，即，，即，所以，故得，故选：D.4．（2019全国高二专题练习（理））已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．（2019安徽宿州市高二期中（文））过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】【分析】先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【详解】如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FBOA，又因为2，所以A为线段FB的中点，24，又13，2+390，所以12+4223．故2+39032230160．，e24e2．故选：B．【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．6．（2018江西九江市九江一中高二月考（理））F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．【答案】D【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．【详解】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，可得A的横坐标为，由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，可得B的横坐标为．由3，可得3（c）c，即为2c，由e，可得2，即有e44e2+30，解得e23或1（舍去），即为e．故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．7．（2020安徽高三二模（理））已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】A【分析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为，有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.8．（2020湖北高三二模（文））已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】A【分析】根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则系数为零，再计算离心率.【详解】设，则有，即双曲线的两渐近线方程为，则有依题意，要使得该式子为定值，则的值与无关，则必须，则.故选:A.【点睛】本题考查双曲线方程渐近线方程，考查离心率问题，属于中等题型.9．（2020广东汕头市金山中学高二月考）已知双曲线C：(，)的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．设，则，由，解得或，，．又为双曲线的左顶点，则，，，，在中，，由余弦定理得，即，即，则，所以，则，即，所以．故选：D.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10．（2020河北唐山市（文））已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．【答案】D【分析】设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.【详解】设,因为轴,故.又直线：,联立直线:可得,.又,故,即.化简可得,故.故离心率.故选：D【点睛】本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.11．（2020四川广元市高三三模（文））已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.【详解】因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.不妨设.又四边形的面积为,故,即,解得,故.故离心率为.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.二、填空题12．（2021黑龙江鹤岗市鹤岗一中高二期末（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.【答案】【分析】作出图形，根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】如下图所示，双曲线的渐近线方程为，由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线的倾斜角，所以，，因此，.所以，该双曲线的离心率为取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．13．（2021合肥市第六中学高二期末（文））已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【分析】根据向量条件，求出的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论.【详解】由题意，设，直线的方程为，与渐近线联立，可得的坐标为，，即，，代入双曲线方程可得，，化简可得，，故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14．（2021内蒙古赤峰市高三月考（文））设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【分析】画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程【详解】解：因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为,所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：15．（2020上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为___________【答案】【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，求出点的坐标，由求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可求得的值，进而解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，则所在直线的斜率为，直线的方程为：，联立，解得，设，由，得，所以，解得：，即，代入，得，整理得，则，.因此，双曲线的渐近线方程为．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键在于求出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.16．（2020湖南株洲市株洲二中高二月考（文））已知是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，在线段上，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______.【答案】【分析】由题意，，，可得，利用，，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，，，，，，.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的渐近线求法、离心率求法是解决此题的关键，属于基础题.17．（2020浙江高三专题练习）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.【答案】【分析】由题意结合双曲线的性质可设直线的方程为，联立方程组可得点、点，再由平面向量的知识可得，化简后结合双曲线的离心率公式即可得解.【详解】由题意可得该双曲线的渐近线方程为，设右焦点，不妨令直线垂直于直线，则直线的方程为，由可得点，因为，所以点，由可得点，又，所以即，所以，所以该双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.18．（2021广西桂林市高二期末（文））已知点P是双曲线上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设,点P在双曲线上则满足，利用点到直线的距离公式进行计算即可得到离心率.【详解】设，则即，双曲线两条渐近线的方程为，则点P到两条渐近线的距离乘积为，故．故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，考查双曲线的简单的几何性质的应用，属于基础题.19．（2020宜宾市叙州区第二中学校高二月考（文））如图所示，设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为___________【答案】【分析】由已知条件推导出直线方程、圆的方程，联立直线方程与圆的方程，解得的表示方法，由，推导出，由此能求出双曲线的离心率．【详解】由已知条件推导出直线：，圆的方程为，联立，解得由，解得则故答案为【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，联立直线方程与圆的方程求出的表示，结合已知条件的角度，运用向量的知识来求解，继而求出双曲线的离心率，本题较为综合20．（2020湖北高三月考（理））已知双曲线的左顶点为，过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且（为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.【答案】【分析】根据题意，得到，渐近线方程为：，不妨令与直线垂直，与直线垂直，求出，坐标，得到，再根据求出，进而可求出离心率.【详解】由题意，，双曲线的渐近线方程为：，不妨令与直线垂直，与直线垂直，则，，所以直线的方程为：；直线的方程为：；由解得：（其中），则；由解得：，即，所以，又，所以，即，即，解得：或（不满足），所以此双曲线的离心率是.故答案为：.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.21．（2020全国高三专题练习（理））已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为______.【答案】【分析】设，，，利用向量的坐标运算可得P点坐标，代入双曲线方程及A,B在渐近线上，化简可得，利用，可求出，代入三角形面积公式化简即可求解.【详解】设，，，由，得，则，，所以.易知点在直线上，点在直线上，则，，所以，化简可得.由渐近线的对称性可得：所以的面积为，得，所以双曲线的实轴长为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题.22．（2019重庆巴蜀中学高三一模（文））已知F1、F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（）0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____．【答案】【分析】由0，可得（）（）0，即|OP|c，则F1PF290，设|PF1|m，|PF2|n，可得mn2a，且m2+n24c2，令m=kn，结合双曲线定义及不等式求得e的范围从而求得结果.【详解】0，即为（）（）0，即为22，可得|OP|c，即有F1PF290，设|PF1|m，|PF2|n，可得mn2a，且m2+n24c2，令m=kn，n，m．PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|24c2，（）2+（）24c2，（）2+（）2e2，又k，e2=，即有，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.