高考数学第6讲 第三定义（解析版）

第6讲第三定义一、单选题1．（2018广东佛山市高三月考（文））双曲线的左右焦点分别为，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】C【详解】由直线方程可得直线过双曲线的左焦点，倾斜角为，直线与圆相切，则：，即是直角三角形，结合可得：，联立直线与双曲线的方程可得：，则：，据此有：,结合整理可得：,据此可得关于离心率的方程：，即，双曲线中.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2．（2019河南郑州市郑州一中高二开学考试（理））已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是A．2B．C．D．【答案】C【详解】由题意，设，则，即，因为，所以，则该双曲线的离心率为；故选C.点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解.3．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的渐近线方程为A．或B．或C．或D．或【答案】A【分析】设出点A,B，P的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合,即可，即可求渐近线方程．【详解】令，，由关于原点对称得，将，代入曲线方程得：，两式作差得：由得：，整理得：，所以双曲线的渐进线方程为：，故选A．【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程及点差法．设，是曲线上的两点，代入曲线方程得：，两方程作差得：．4．（2019安徽六安市六安一中（理））双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于A．B．C．或D．【答案】B【分析】本题首先可以设出双曲线的左焦点坐标并写出过双曲线的左焦点且斜率为1的直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．【详解】设双曲线的左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为，与渐近线方程联立可得、，故中点坐标为，则有，即，，，，故选B．【点睛】本题考查了双曲线的相关性质，主要考查双曲线的离心率的计算、双曲线的渐近线方程、中点坐标公式、两点间距离公式，考查化归与转化思想，体现了基础性与综合性，是中档题．5．（2016湖北黄冈市高二期末（理））过原点的直线与双曲线（a0，b0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．2【答案】A【详解】试题分析：设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用kPMkPN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．由kPMkPN=，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．故选A．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．6．（2020全国高三专题练习）已知点P，A，B在双曲线(a0，b0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【分析】根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，设，，，利用点差法求得，进而得到，根据离心率公式计算即得.【详解】根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，设，，，所以,,两式相减得，即，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以，所以双曲线的离心率为故选:A．【点睛】本题考查双曲线的性质，离心率，点差法，属中档题.利用点差法可以证得：（1）点P，A，B在曲线上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.（2）点P，A，B在双曲线上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.7．（2020黑龙江哈尔滨市哈师大附中高二期中（文））过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（）A．4B．1C．D．【答案】C【分析】设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值.【详解】由题意可设，，，则，，即有，即，由，，可得，因为，所以.故选：.8．（2020全国高三专题练习（文））已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是A．2xy0B．x2y0C．xy0D．xy0【答案】B【分析】先设出直线的方程为，联立，设，由线段AB的中点为，，由此得出，从而能求出双曲线C的渐近线方程.【详解】设直线方程为，联立，消去y，得，设，因为线段AB的中点为，所以，解得，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选B.【点睛】该题所考查的是有关双曲线的渐近线的方程的求解问题，涉及到的知识点有直线与双曲线的位置关系的综合题，对应的直线与双曲线相交的解题思路，以及中点坐标公式的应用，结合题中所给的中点坐标，求出，从而得到渐近线的方程.9．（2015湖北武汉市高三月考（文））过原点的直线与双曲线交于、两点，是双曲线上异于、的点，若直线的斜率之积，则双曲线的离心率A．B．C．D．2【答案】A.【解析】试题分析：由双曲线的对称性知，可设，，则.由可得：，即，即，又因为，均在双曲线上，所以，，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故应选A.考点：双曲线的性质及其应用.10．（2020全国高三专题练习）已知双曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．8xy150B．8xy170C．4xy90D．4xy70【答案】A【分析】设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入双曲线方程后相减，利用中点坐标可得直线的斜率，从而得直线方程．【详解】设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1x24，y1y22.所以16(x1x2)2(y1y2)0，所以kAB8，故直线l的方程为y18(x2)，即8xy150.故选：A．【点睛】结论点睛：本题考查双曲线的中点弦问题，设是双曲线的弦中点，解题问题方法是“点差法”，即设，代入双曲线方程后相减，即可得．11．（2018重庆高三月考（文））已知双曲线，直线l的斜率为-2，与双曲线交于A，B，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使直线AB，BC，AC的斜率满足=3，若D，E，H三点为AB，BC，AC的中点，则+=A．-6B．5C．6D．7【答案】D【详解】由题意得，．设点B,C,E的坐标分别为，则有，两式相减得，整理得，即．同理得．．选D．点睛：本题中涉及的斜率较多，解题的关键是如何将这些斜率联系在一起，通过分析题意可发现，在条件中给出了双曲线的中点弦问题，故可采用“点差法”求解，通过求解可得到结论：双曲线中弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线的斜率之积为定值（其中为双曲线的实半轴和虚半轴的长）．然后根据此结论和条件可使问题容易解决，在解决解析几何的问题中要注意中间性结论的积累和利用，这样可达到提高解题速度的效果．12．（2021安徽六安市六安一中高二开学考试（文））已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线与直线的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设点，求得，利用点在双曲线上，及已知定值2可求得，从而可得离心率．【详解】根据题意，设点，则，，所以，所以双曲线的离心率.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的等式．解题方法是设出坐标，代入双曲线方程，然后把等式用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．二、填空题13．（2021全国高二课时练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.【答案】【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】设点、，由题意可得，，，直线的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，，，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.14．（2020衡水第一中学高三月考（文））双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，若，则双曲线的离心率为___________.【答案】2.【解析】因为以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，A=，故可知直线的倾斜角为，设直线方程为设点P，根据条件知N点是PQ的中点，故得到，因为，故得到故答案为2.点睛：这个题目考查的是双曲线的离心率的求法；圆锥曲线中求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子．15．（2015浙江衢州市高二月考（理））已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．【答案】【解析】试题分析：代入整理得渐近线为考点：双曲线方程及性质16．（2020全国高二课时练习）设A.B分别为双曲线（a>0，b>0）的左.右顶点，P是双曲线上不同于A.B的一点，直线AP.BP的斜率分别为m.n，则当取最小值时，双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.【详解】设，则，因此当且仅当时取等号,所以离心率是.故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.17．（2020全国高三月考（理））已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，且直线与直线的斜率之积为1，则双曲线的焦距为__________.【答案】【分析】设，利用斜率乘积为和在双曲线上可构造方程组求得，进而得到，求得焦距.【详解】由双曲线方程知：，，设，则，即，又，，，双曲线的焦距为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.18．（2020重庆北碚区西南大学附中高二月考）已知椭圆：（），为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆：的两条切线，切点分别为、，则的最小值为______．【答案】【分析】设，代入椭圆方程，另外用表示出，从而可得，再结合椭圆中的关系，进而可求出，明确椭圆的方程，根据椭圆的性质可得当为椭圆的上顶点时，所求数量积最小，结合二倍角的余弦公式即可求出最小值.【详解】解：由题意知，，，不妨设，则，整理得，又，所以联立两方程可得，即，又，，解得，即椭圆方程为，因为表示以为圆心，为半径的圆，则，因为，所以到距离越大，越大，此时越大，则越小，设，则，到圆心距离，因为，所以当时，取最大值，即到距离最大，此时，则，所以，则故答案为:【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了椭圆的几何性质，考查了平面向量的数量积公式，考查了斜率公式，考查了二倍角的余弦公式，属于中档题.本题的关键是根据已知条件求出椭圆的标准方程.