保密启用前
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第一次模拟考试
数学试题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答
题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求．
1．已知全集U{1,2,3,4,5}，A{1,3,4}，B{2,4}，则A(CUB)
A．{1,3}B．{2,4}C．{1,3,5}D．{2,4,5}
2i
2．若复数z，则z的虚部是
12i
4422
A．B．iC．D．i
5555
3．“mn”是“lnmlnn”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知a0.310.1,b0.310.2,c0.320.1，则
A．abcB．bacC．cbaD．cab
111
5．在等比数列{a}中，aaaaa，a，则
n12345434
11111
a1a2a3a4a5
64
A．44B．
11
第1页（共7页）
16
C．D．11
11
6．已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，f(x)f(10x)4，g(1)2且
9
g(x)g(x2)2，则f(i)g(i)
i1
A．24B．26C．28D．30
7．在直角三角形ABC中，A90，ABC的重心、外心、垂心、内心分别为
G1,G2,G3,G4，若AGiiABiAC（其中i1,2,3,4），当ii取最大值时，
i
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数f(x)2sin(x)在区间(0,)上有且仅有4个极大值点，则正实数的
4
取值范围为
1317131725332533
A．(,]B．[,)C．(,]D．[,)
44444444
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)logax(a0，且a1)的反函数为g(x)，则
A．g(x)ax(a0，且a1)且定义域是(0，)
B．若f(9)2，则g(3)27
C．函数f(x)与g(x)的图象关于直线yx对称
D．函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0,1,2,3
10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件
A“取出的两球同色”，事件B“第一次取出的是白球”，事件C“第二次取出
的是白球”，事件D“取出的两球不同色”，则
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1
A．P(B)B．B与C互斥
2
C．A与B相互独立D．A与D互为对立
Sn4n25
11．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn与Tn，且(nN)，则
Tn2n5
a3a35
A．13B．
b3b49
SnSn
C．的最大值是17D．最小值是7
TnTn
12．中华人民共和国国旗是五星红旗．国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形
中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角
星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为36的等腰三角
51
形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为108的等腰三角形，其一
2
51
腰与底边的长度之比为黄金比．如图，正五角星ABCDE中，AG2，记
2
AG,AF，则A
BGFE
A．AGFI
HJ
B．
AGAF51I
51
C．AG在AF上的投影向量为AFCD
2
1
D．cos2cos4cos6cos2024
2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，
第二个空填对得3分．
4
13．已知x1，则x的最小值为.
x1
14．已知tan2，则sincos.
15．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的
第3页（共7页）
读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时
间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该校学生
每天读书时间的平均值为分钟，方差为．
ex
,x0且x1,
16．已知函数f(x)x1若函数g(x)f2(x)mf(x)e4有4个
f(x),x0且x1,
零点，则实数m的取值范围是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx)．
（）若a//b且x(0,)，求x；
1
（）若函数f(x)ab，求f(x)的单调递增区间．
2
18．（本小题满分12分）
已知函数f(x)2xlnx．
（）求曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程；
（）若对x(0,)，f(x)ax22x恒成立，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a12，Snan1.
（）请在中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，
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求数列{an}的通项公式；求Sn；
Sn
（）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明Tn1．
(an11)(an21)
20．（本小题满分12分）
近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领
先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片
生产商用某国产光刻机生产的Q型芯片经过十项指标全面检测后，分为级和级，两
种芯片的某项指标的频率分布如图所示：
级品级品
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的产品应用于A型手
机，小于或等于c的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率
作为相应事件发生的概率．
（）求Q型芯片级品该项指标的第70百分位数；
（）当临界值c65时，求Q型芯片级品应用于A型手机的概率；
（）已知c[50,60]，现有足够多的Q型芯片级品、级品，分别应用于A型手
机、B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将Q型芯片级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c
的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q型芯片级品应用于B
型手机，其中该指标大于临界值c的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300
元；
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方案二：重新检测Q型芯片级品，级品，会避免方案一的损失费用，但检测
费用共需要101万元；
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
21．（本小题满分12分）
已知ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c，c(cosA3sinA)b2a，
c2．
（）求角C；
（）若ABBC，在ABC的边AC和BC上分别取点D,E，将CDE沿线段
DE折叠到平面ABE后，顶点C恰好落在边AB上（设为点P），设CEx，
当CE取最小值时，求PBE的面积．
C
E
D
PB
A
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)exmsinx．
（）若函数f(x)在(0,)上单调递增，求正实数m的取值范围；
（）求证：当m1时，f(x)在(，)上存在唯一极小值点x0，且
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1f(x0)0．
命题、校对：数学学科中心组
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如图，当函数x与有一个公共点在直线上，且在该公共点处的
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第一次模拟考试2yaylogax(x0,y0)yx
ax0x
切线为，所以有0，代入消x0得x0x0，代入
yxax0lnalna1，ae
ax0lna1
数学试题参考答案
1
e
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．ae
中得即x与的公共点为，
xeyaylogax(ee)
123456780
ACBDACBC
结合图象得到以下结论：
二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得01
（1）当aee时，函数yax与ylogx的图象无公共点（如图1）
分．a
1
（2）当aee时，函数yax与ylogx的图象有一个公共点（如图2）
9101112a
1
（3）当e时，函数x与的图象有两个公共点（如图）
BCDACDBCABD1aeyaylogax3
（二）当0a1时函数图象呈现以下三种情况
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二
个空填对得3分．
2
13．514．5
44
；16．44
15．68108(1e,e1)（注：或写成1eme1）图4图5图6
7．教学建议：请教师们注意结合向量运算掌握三角形的“四心”问题．如图，当函数x与有一个公共点在直线上，且在该点处有公切
5yaylogax(x0,y0)yx
9．教学提示：建议教学中指导学生甄别a范围不同时，指、对函数的位置关系．线（斜率为1），
（一）当时函数图象呈现以下三种情况x
a1a0x1
所以有0，代入消x0得x0，x0，代入中得
xax0lnalna1a
a0lna1e
aee
11
即x与的公共点为，
1，yaylogax()
x0ee
e
结合图象得到以下结论：
（4）当e时，函数x与的图象有三个公共点（如图）
0aeyaylogax4
图1图2图3
高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案第1页（共8页）
22
（5）当aee时，函数yax与ylogx的图象有一个公共点（如图5）h(e)0h(e)0
a
令h(t)t2mte4，则h(1)0或h(1)0
（6）当e时，函数x与的图象有一个公共点（如图6）22
ea1yaylogaxh(e)0h(e)0
故0me41或1e4m0
15．教学建议：（1）关注《数学课程标准》中分层随机抽样的教学要求．
综上，实数m的取值范围是(1e4,e41)．
（2）学生掌握推导过程．
方法二：
摘自《数学课程标准》：
44
分层随机抽样ee
()式化为mt，令h(t)t(t0)，
tt
通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例
分配的方法．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．易知yh(t)在(，0)，(0,)上单调递增，
(x2)ex且h(1)1e4，h(1)e41，h(e2)h(e2)0
16．教学提示：当x0且x1时，f(x)，f(2)0
2
(x1)其图象大致如图：
当0x2且x1时，f(x)0；当x2时，f(x)0．当0me41或1e4m0时，满足
故f(x)在(0,1)，(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，e2t1te2
1或1
22
t2e1t2e
当x2时，f(x)取得极小值f(2)e2，
综上，实数m的取值范围是(1e4,e41)．
当x1时，f(x)；当x1时，f(x)；当x时，f(x)．
由f(x)解析式可知，f(x)为奇函数．画出f(x)图象大致如下：四、解答题
．【解析】
令g(x)0得f2(x)mf(x)e40，设tf(x)，17
（）21分
24a//b3sinxcosxcosx0
得关于t的方程tmte0()
即
24cosx(3sinxcosx)0
m4e0恒成立，设()式有两个不等实根t1,t2，
3
当te2,te2时，即m0，满足题意，cosx0或tanx3分
123
e2t1te2
当1或1,满足题意，x(0,)
22
t2e1t2e
方法一：
高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案第2页（共8页）
x或x5分f(x)的单调递增区间是[k,k](kZ)10分
2636
（注：少一个解扣1分，没有角的范围表述扣1分.）（注：单调区间没有写成区间形式扣1分，没有注明k的范围扣1分．）
2
方法二：a//b3sinxcosxcosx01分
18．【解析】
31cos2x
sin2x0
1
22（）解：f(x)2(x0)1分
x
1
sin(2x)3分
62所求切线斜率为f(1)1，切点为(1,2)3分
11故所求切线方程为y(2)(x1)，即xy105分
x(0,)2x(,)
666
（注：将切线方程表示成yx1也给分）
5
2x或2x（）方法一：分离变量
6666
lnx
由f(x)ax22x得a在(0,)恒成立6分
x或x5分x2
62
（注：少一个解扣1分，没有角的范围表述扣1分.）lnx
令g(x)(x0)，则ag(x)max
x2
11
（）f(x)ab3sinxcosxcos2x6分12lnx
22g(x)，g(e)08分
x3
31
sin2xcos2x当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0
22
故g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减
sin(2x)7分
6
1
故当xe时，g(x)取最大值11分
2e
令2k2x2k(kZ)
262
11
故a，即a的取值范围是[,)12分
2e2e
kxk9分
36
1
(注：表示成a不扣分）
2e
高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案第3页（共8页）