2023年新课标全国Ⅱ卷数学试卷和答案

2023-10-24·22页·1.3 M

2023年全国新高考卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

13i3i

1.在复平面内,对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为13i3i38i3i268i,

则所求复数对应的点为6,8,位于第一象限.

故选:A.

2.设集合A0,a,B1,a2,2a2,若AB,则a().

2

A.2B.1C.D.1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分a20和2a20两种情况讨论,运算求解即可.

【详解】因为AB,则有:

若a20,解得a2,此时A0,2,B1,0,2,不符合题意;

若2a20,解得a1,此时A0,1,B1,1,0,符合题意;

综上所述:a1.

故选:B.

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高

中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有

().

4515种2040种

A.C400C200B.C400C200

3030种4020种

C.C400C200D.C400C200

【答案】D

第1页/共22页

【解析】

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

400200

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取6040人,高中部共抽取6020,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020种

C400C200.

故选:D.

2x1

4.若fxxaln为偶函数,则a().

2x1

1

A.1B.0C.D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数性质,利用特殊值法求出a值,再检验即可.

1

【详解】因为f(x)为偶函数,则f(1)f(1),(1a)ln(1a)ln3,解得a0,

3

2x111

当a0时,fxxln,2x12x10,解得x或x,

2x122

11

则其定义域为xx或x,关于原点对称.

22

1

2x12x12x12x1

fxxlnxlnxlnxlnfx,

2x12x12x12x1

故此时fx为偶函数.

故选:B.

2

x2

5.已知椭圆C:y1的左、右焦点分别为F1,F2,直线yxm与C交于A,B两点,若F1AB

3

面积是F2AB面积的2倍,则m().

2222

A.B.C.D.

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程,利用0,求出m范围,再根据三角形面积比得到关于m的方

程,解出即可.

第2页/共22页

yxm

【详解】将直线yxm与椭圆联立2,消去y可得22,

x24x6mx3m30

y1

3

因为直线与椭圆相交于A,B点,则36m2443m230,解得2m2,

设到的距离到距离,易知,

F1ABd1,F2ABd2F12,0,F22,0

则|2m|,|2m|,

d1d2

22

|2m|

S

F1AB2|2m|2

2,解得m或32(舍去),

S

F2AB|2m||2m|3

2

故选:C.

x

6.已知函数fxaelnx在区间1,2上单调递增,则a的最小值为().

A.e2B.eC.e1D.e2

【答案】C

【解析】

1

【分析】根据fxaex0在1,2上恒成立,再根据分参求最值即可求出.

x

11

【详解】依题可知,fxaex0在1,2上恒成立,显然a0,所以xex,

xa

设gxxex,x1,2,所以gxx1ex0,所以gx在1,2上单调递增,

11

gxg1e,故e,即ae1,即a的最小值为e1.

ae

故选:C.

15

7.已知为锐角,cos,则sin().

42

第3页/共22页

35153515

A.B.C.D.

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

15

【详解】因为cos12sin2,而为锐角,

24

2

解得:sin355151.

2

8164

故选:D.

8.记Sn为等比数列an的前n项和,若S45,S621S2,则S8().

A.120B.85C.85D.120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一:根据等比数列的前n项和公式求出公比,再根据S4,S8的关系即可解出;

方法二:根据等比数列的前n项和的性质求解.

【详解】方法一:设等比数列an的公比为q,首项为a1,

若q1,则S66a132a13S2,与题意不符,所以q1;

a1q4a1q6a1q2

由,可得,1,11,

S45S621S2521

1q1q1q

由可得,1q2q421,解得:q24,

a1q8a1q4

所以114.

S81q511685

1q1q

故选:C.

方法二:设等比数列an的公比为q,

因为S45,S621S2,所以q1,否则S40,

从而,S2,S4S2,S6S4,S8S6成等比数列,

第4页/共22页

25

所以有,5SS21S5,解得:S21或S,

22224

当S21时,S2,S4S2,S6S4,S8S6,即为1,4,16,S821,

易知,S82164,即S885;

522

当S时,S4a1a2a3a4a1a21q1qS20,

24

与S45矛盾,舍去.

故选:C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用,以及整体思想的应用,解题关键是把握S4,S8的关

系,从而减少相关量的求解,简化运算.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,APB120,PA2,点C在底面圆周上,

且二面角PACO为45,则().

A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为43

C.AC22D.PAC的面积为3

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性,利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意,APB120,PA2,所以OP1,OAOB3,

12

A选项,圆锥的体积为31,A选项正确;

3

B选项,圆锥的侧面积为3223,B选项错误;

C选项,设D是AC的中点,连接OD,PD,

则ACOD,ACPD,所以PDO是二面角PACO的平面角,

则PDO45,所以OPOD1,

故ADCD312,则AC22,C选项正确;

1

选项,22,所以,选项错误

DPD112SPAC2222D.

2

故选:AC.

第5页/共22页

2

10.设O为坐标原点,直线y3x1过抛物线C:y2pxp0的焦点,且与C交于M,N两点,

l为C的准线,则().

8

A.p2B.MN

3

C.以MN为直径的圆与l相切D.OMN为等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦点坐标,从而求得p,根据弦长公式求得MN,根据圆与等腰三角形的知识确定正确答

案.

2

【详解】A选项:直线y3x1过点1,0,所以抛物线C:y2pxp0的焦点F1,0,

p

所以1,p2,2p4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y24x.

2

B选项:设Mx1,y1,Nx2,y2,

y3x12

由消去y并化简得3x10x3x33x10,

2

y4x

1116

解得x3,x,所以MNxxp32,B选项错误.

1231233

C选项:设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,

111

因为dddMFNFMN,

21222

即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.

D选项:直线y3x1,即3xy30,

3

O到直线3xy30的距离为d,

2

第6页/共22页

116343

所以三角形OMN的面积为,

2323

由上述分析可知123,

y133123,y231

33

22

2

所以212313,

OM32321,ON

333

所以三角形OMN不是等腰三角形,D选项错误.

故选:AC.

bc

11.若函数fxalnxa0既有极大值也有极小值,则().

xx2

A.bc0B.ab0C.b28ac0D.ac0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数f(x)的导数f(x),由已知可得f(x)在(0,)上有两个变号零点,转化为一元二次方

程有两个不等的正根判断作答.

bcab2cax2bx2c

【详解】函数f(x)alnx的定义域为(0,),求导得f(x),

xx2xx2x3x3

因为函数f(x)既有极大值也有极小值,则函数f(x)在(0,)上有两个变号零点,而a0,

2

因此方程axbx2c0有两个不等的正根x1,x2,

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b28ac0

b22

于是x1x20,即有b8ac0,ab0,ac0,显然abc0,即bc0,A错误,BCD

a

2c

x1x20

a

正确.

故选:BCD

12.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为(01),收到0的

概率为1;发送1时,收到0的概率为(01),收到1的概率为1.考虑两种传输方案:单次

传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号

需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的

即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1的概率为(1)(1)2

B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为(1)2

C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为(1)2(1)3

D.当00.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB;利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C;求

出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1

接收1的3个事件的积,

它们相互独立,所以所求概率为(1)(1)(1)(1)(1)2,A正确;

对于B,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到l,0,1的事件,

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积,

它们相互独立,所以所求概率为(1)(1)(1)2,B正确;

对于C,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和,

第8页/共22页

它们互斥,由选项知,所以所求的概率为2232,错误;

BC3(1)(1)(1)(12)C

对于D,由选项C知,三次传输,发送0,则译码为0的概率P(1)2(12),

单次传输发送0,则译码为0的概率P1,而00.5,

因此PP(1)2(12)(1)(1)(12)0,即PP,D正确.

故选:ABD

【点睛】关键点睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,

相互独立事件的积是解题的关键.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知向量a,b满足ab3,ab2ab,则b______.

【答案】3

【解析】

rrr

【分析】法一:根据题意结合向量数量积的运算律运算求解;法二:换元令cab,结合数量积的运算

律运算求解.

22

【详解】法一:因为ab2ab,即ab2ab,

r2rrr2r2rrr22

则a2abb4a4abb,整理得a2ab0,

2

又因为ab3,即ab3,

r2rrr2r2

则a2abbb3,所以b3.

rrrrrrrrr

rrr

法二:设cab,则c3,abc2b,2ab2cb,

rr2rr2

r2rrr2r2rrr2

由题意可得:c2b2cb,则c4cb4b4c4cbb,

rr

r2r2

整理得:cb,即bc3.

故答案为:3.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所

得棱台的体积为______.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一:割补法,根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案;方法二:根据台体

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的体积公式直接运算求解.

21

【详解】方法一:由于,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

1

所以正四棱锥的体积为44632,

3

1

截去的正四棱锥的体积为2234,

3

所以棱台的体积为32428.

1

方法二:棱台的体积为316416428.

3

故答案为:28.

28

15.已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A,B两点,写出满足“ABC面积为”的m

5

的一个值______.

11

【答案】2(2,2,,中任意一个皆可以)

22

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系,求出弦长AB,以及点C到直线AB的距离,结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得AB24d2,

18

所以2,解得:45或25,

SABCd24ddd

2555

1122452251

由d,所以或,解得:m2或m.

1m21m21m251m252

11

故答案为:2(2,2,,中任意一个皆可以).

22

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