绝密启用前
试卷类型：A
新课标卷数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右
上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
2
M2,1,0,1,2Nxxx60
1.已知集合，，则MN（）
A.2,1,0,1B.0,1,2C.2D.2
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为Nxx2x60,23,，而M2,1,0,1,2，
所以MN2．
故选：C．
方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式x2x60，只有2使不等式成立，所
第1页/共28页
以MN2．
故选：C．
1i
2.已知z，则zz（）
22i
A.iB.iC.0D.1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．
1i1i1i2i11
【详解】因为zi，所以zi，即zzi．
22i21i1i422
故选：A．
3.已知向量a1,1,b1,1，若abab，则（）
A.1B.1
C.1D.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为a1,1,b1,1，所以ab1,1，ab1,1，
由abab可得，abab0，
即11110，整理得：1．
故选：D．
xxa
4.设函数fx2在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）
A.,2B.2,0
C.0,2D.2,
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
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xxa
【详解】函数y2x在R上单调递增，而函数fx2在区间0,1上单调递减，
aa2a
则有函数yx(xa)(x)2在区间0,1上单调递减，因此1，解得a2，
242
所以a的取值范围是2,.
故选：D
22
x2x2
5.设椭圆C:y1(a1),C:y1的离心率分别为e1,e2．若e3e，则a（）
1a22421
23
A.B.2C.3D.6
3
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
2
【详解】由，得22，因此41a1，而，所以23
e23e1e23e13a1a.
4a23
故选：A
6.过点0,2与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角为，则sin（）
15106
A.1B.C.D.
444
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k28k10，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
2
【详解】方法一：因为x2y24x10，即x2y25，可得圆心C2,0，半径r5，
过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，
22
因为PC22222，则PAPCr23，
51036
可得sinAPC,cosAPC，
224224
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10615
则sinAPBsin2APC2sinAPCcosAPC2，
444
22
226101，
cosAPBcos2APCcosAPCsinAPC0
444
即APB为钝角，
15
所以sinsinAPBsinAPB；
4
法二：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，
过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，
22
可得PC22222，则PAPBPCr23，
2222
因为PAPB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB
且ACBAPB，则336cosAPB5510cosAPB，
1
即3cosAPB55cosAPB，解得cosAPB0，
4
1
即APB为钝角，则coscosAPBcosAPB，
4
15
且为锐角，所以sin1cos2；
4
方法三：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，
若切线斜率不存在，则切线方程为y0，则圆心到切点的距离d2r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为ykx2，即kxy20，
2k2
则5，整理得k28k10，且644600
k21
设两切线斜率分别为k1,k2，则k1k28,k1k21，
可得2，
k1k2k1k24k1k2215
k1k2sinsin
所以tan15，即15，可得cos，
1k1k2cos15
sin2
则sin2cos2sin21，
15
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15
且0,，则sin0，解得sin.
24
故选：B.
S
7.记S为数列a的前n项和，设甲：a为等差数列；乙：{n}为等差数列，则（）
nnnn
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：an为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
n(n1)Sn1ddSSd
则Snad,nadna,n1n，
n12n12212n1n2
S
因此{n}为等差数列，则甲是乙的充分条件；
n
SSSnS(n1)SnaS
反之，乙：{n}为等差数列，即n1nn1nn1n为常数，设为t，
nn1nn(n1)n(n1)
naS
即n1nt，则Snatn(n1)，有S(n1)atn(n1),n2，
n(n1)nn1n1n
两式相减得：annan1(n1)an2tn，即an1an2t，对n1也成立，
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因此an为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
n(n1)
方法2，甲：a为等差数列，设数列a的首项a，公差为d，即Snad，
nn1n12
S(n1)ddS
则nadna，因此{n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；
n12212n
SSSS
反之，乙：{n}为等差数列，即n1nD,nS(n1)D，
nn1nn1
即SnnS1n(n1)D，Sn1(n1)S1(n1)(n2)D，
当n2时，上两式相减得：SnSn1S12(n1)D，当n1时，上式成立，
于是ana12(n1)D，又an1ana12nD[a12(n1)D]2D为常数，
的
因此an为等差数列，则甲是乙必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
11
8.已知sin,cossin，则cos22（）．
36
7117
A.B.C.D.
9999
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
111
【详解】因为sin()sincoscossin，而cossin，因此sincos，
362
2
则sin()sincoscossin，
3
21
所以cos(22)cos2()12sin2()12()2.
39
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解
题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角
相同或具有某种关系．
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（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得
的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6的极差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,,x6的平均数为n，
xxxxxxxxxx2xxxxxx
则nm1234562345165234，
6412
因为没有确定2x1x6,x5x2x3x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，
例如：1,2,3,4,5,6，可得mn3.5；
例如1,1,1,1,1,7，可得m1,n2；
11
例如1,2,2,2,2,2，可得m2,n；故A错误；
6
对于选项B：不妨设x1x2x3x4x5x6，
xx
可知x,x,x,x的中位数等于x,x,,x的中位数均为34，故B正确；
23451262
对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，
则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,,x6的波动性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,,x6的标准差，
1
例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n246810127，
6
1222222105
标准差s27476787107127，
163
第7页/共28页
1
4,6,8,10，则平均数m468107，
4
12222
标准差s4767871075，
24
105
显然5，即s1s2；故C错误；
3
对于选项D：不妨设x1x2x3x4x5x6，
则x6x1x5x2，当且仅当x1x2,x5x6时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
p
10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数
p0
p
p0p00是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源与声源的距离/m声压级/dB
燃油汽车106090
混合动力汽车105060
电动汽车1040
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（）．
A.p1p2B.p210p3
C.p3100p0D.p1100p2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知L60,90,L50,60,L40，结合对数运算逐项分析判断.
p1p2p3
【详解】由题意可知：L60,90,L50,60,L40，
p1p2p3
ppp
对于选项：可得LL20lg120lg220lg1，
Ap1p2
p0p0p2
pp
因为LL，则LL20lg10，即lg10，
p1p2p1p2
p2p2
第8页/共28页
p
1
所以1且p1,p20，可得p1p2，故A正确；
p2
ppp
对于选项：可得LL20lg220lg320lg2，
Bp2p3
p0p0p3
pp1
因为LLL4010，则20lg210，即lg2，
p2p3p2
p3p32
p
所以2e且，可得，
p2,p30p2ep3
p3
当且仅当L50时，等号成立，故错误；
p2B
pp
对于选项：因为L20lg340，即lg32，
Cp3
p0p0
p
3
可得100，即p3100p0，故C正确；
p0
p
对于选项：由选项可知：LL20lg1，
DAp1p2
p2
p
且LL905040，则20lg140，
p1p2
p2
pp
11
即lg2，可得100，且p1,p20，所以p1100p2，故D正确；
p2p2
故选：ACD.
22
11.已知函数fx的定义域为R，fxyyfxxfy，则（）．
A.f00B.f10
C.fx是偶函数D.x0为fx的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)0即可排除选
项D.
x2lnx,x0
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)进行判断即可.
0,x0
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【详解】方法一：
因为f(xy)y2f(x)x2f(y)，
对于A，令xy0，f(0)0f(0)0f(0)0，故A正确.
对于B，令xy1，f(1)1f(1)1f(1)，则f(1)0，故B正确.
对于C，令xy1，f(1)f(1)f(1)2f(1)，则f(1)0，
令y1,f(x)f(x)x2f(1)f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
对于，不妨令f(x)0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故错误
DD.
方法二：
因为f(xy)y2f(x)x2f(y)，
对于A，令xy0，f(0)0f(0)0f(0)0，故A正确.
对于B，令xy1，f(1)1f(1)1f(1)，则f(1)0，故B正确.
对于C，令xy1，f(1)f(1)f(1)2f(1)，则f(1)0，
令y1,f(x)f(x)x2f(1)f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
f(xy)f(x)f(y)
对于D，当x2y20时，对f(xy)y2f(x)x2f(y)两边同时除以x2y2，得到，
x2y2x2y2
f(x)x2lnx,x0
故可以设，则，
2lnx(x0)f(x)
x0,x0
1
当x0肘，f(x)x2lnx，则fx2xlnxx2x(2lnx1)，
x
1
1
令fx0，得；令fx>0，得2；
0xe2()xe
11
故f(x)在0,e2上单调递减，在e2,上单调递增，
11
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在e2,0上单调递增，在,e2上单调递减，
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